Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Зачетная работа по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными» - Неравенства с двумя переменными и их системы - Уравнения и неравенства с двумя переменными

Цель: проверка знаний учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Варианты зачетной работы

Вариант .

1. Решите систему уравнений.

2. Даша и Таня пропалывают грядку за 12 мин, а одна Даша - за 20 мин. За сколько минут пропалывает грядку одна Таня?

3. Изобразите на координатной плоскости множество решений:

а) уравнения

б) неравенства (у - 1)(у - х) ≤ 0;

в) системы неравенств

4. Решите систему уравнений

5. Решите систему уравнений.

6. Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 60%. На сколько процентов вырос бы общий доход семьи, если бы вдвое увеличилась зарплата жены?

7. На координатной плоскости изобразите множество решений неравенства

8. Решите систему уравнений.

9. Найдите значение параметра, при котором система уравнений имеет ровно два решения. Найдите эти решения.

Вариант .

1. Решите систему уравнений.

2. Олег и Витя вскапывают грядку за 10 мин, а один Олег – за 15 мин. За сколько минут вскапывает грядку один Витя?

3. Изобразите на координатной плоскости множество решений:

а) уравнения

б) неравенства (х + 1)(у + х) ≤ 0;

в) системы неравенств

4. Решите систему уравнении

5. Решите систему уравнений.

6. Семья состоит из двух человек: мужа и жены. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 45%. На сколько процентов вырос бы общий доход семьи, если бы вдвое увеличилась зарплата мужа?

7. На координатной плоскости изобразите множество решений неравенства

8. Решите систему уравнений.

9. Найдите значение параметра, при котором система уравнений имеет ровно два решения. Найдите эти решения.

III. Ответы и решени.

Вариант 1

1. Ответ: а) (1; 1), (1; -2), (3,5; 4); б) (1/3; -1/2).

2. Ответ: 30 мин.

3. Ответ: a-в) построено.

4. Ответ: (1; 3).

5. Ответ: а) (5; 3), (5; -3); б) (3; -2), (-1/3; -2).

6. Ответ: на 40%.

7. Ответ: построено.

8(a). Для решения системы уравнений запишем ее в виде Так как в первом уравнении произведение множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Получаем две системы уравнений:

откуда х = 4, у = -4 и х = -4, у = 4;

откуда х = 12, у = 4 и х = -12, у = -4.

Ответ: (4; -4), (-4; 4), (12; 4), (-12; -4).

8(б). Для системы уравнений учтем, что х, у ≥ 0, и возведем в квадрат уравнения Вычтем уравнения системы и получим: х2 - у2 + 5х – 5y = у2 - х2, или 2(х – y)(x + y) + 5(х - y) = 0, или (х - у)(2х + 2у + 5) = 0. Так как х, у ≥ 0, то в произведении только первый множитель равен нулю, т. е. у = х. Подставим это значение в первое уравнение: х2 + 5х - 6 = х2, откуда 5х - 6 = 0 и х = 1,2, у = 1,2.

Ответ: (1,2; 1,2).

9. Удобнее всего исследовать систему уравнений графически. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом Графиком второго уравнения будут две параллельные прямые: х + у = ±4 или у = -х ± 4. Очевидно, что данная система будет иметь ровно два решения, если построенные прямые будут касаться окружности. Из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ получаем условие: или или 4 = 1 + а, откуда а = 3. Легко найти решения системы, т. е. координаты точек касания А и Д: (2; 2) и (-2; -2).

Ответ: при a = 3 (2; 2) и (-2; -2).

Вариант 2

1. Ответ: а) (-2; 4), (-3; 1), (4; 1); б) (-1/4; 1/2).

2. Ответ: 30 мин.

3. Ответ: a-в) построено.

4. Ответ: (2; 6).

5. Ответ: а) (4; 2), (4; -2); б) (2; 3), (4/3; 3).

6. Ответ: на 55%.

7. Ответ: построено.

откуда х = 24, у = -12 и х = -24, у = 12;

откуда х = 36, у = -12 и х = -36, у = 12.

Ответ: (24; -12), (-24; 12), (36; -12), (-36; 12).

8(б). Для системы уравнений учтем, что х, у ≥ 0, и возведем в квадрат уравнения Вычтем уравнения системы и получим: х2 - у2 + 4х - 4у = у2 - х2, или 2(х - y)(х + y) +4(х - у) = 0, или (х - у)(х + у + 2) = 0. Так как х, у ≥ 0, то в произведении только первый множитель равен нулю, т. е. у = х. Подставим это значение в первое уравнение: х2 + 4х - 7 = х2, откуда 4х - 7 = 0 и х = 7/4, у = 7/4.

Ответ: (7/4; 7/4).

9. Удобнее всего исследовать систему уравнений графически. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом Графиком второго уравнения будут две параллельные прямые: у - х = ±2 или у = х ± 2. Очевидно, что данная система будет иметь ровно два решения, если построенные прямые будут касаться окружности. Из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ получаем условие: или или 1 = 1 - а, откуда а = 0. Легко найти решения системы, т. е. координаты точек касания А и Д: (-1; 1) и (1; -1).

Ответ: при а = 0 (-1; 1) и (1; -1).