Итоги контрольной работы - урок 3 - Неравенства с двумя переменными и их системы - Уравнения и неравенства с двумя переменными

Целы сообщить результаты работы, рассмотреть наиболее типичные ошибки, разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Итоги контрольной работы

III. Ответы и решения

Ответ.

Вариант 1

1. Ответ: (2; 1), (-3,5; 17,5).

2. Ответ: (1; 2), (1/13; -22/13).

3. Ответ: 4 и 10 см.

4. Ответ: а, б) построено.

5. Ответ: построено.

Вариант 2

1. Ответ: (2; -1), (-10/3; -67/3).

2. Ответ: (1; -2), (-2/7; 13/7).

3. Ответ: 6 и 7 см.

4. Ответ: а, б) построено.

5. Ответ: построено.

Вариант 3

1. Ответ:

2. Ответ: 14 и 11.

3. Ответ: а, б) построено.

4. Ответ: построено.

Вариант 4

1. Ответ:

2. Ответ: 17 и 11.

3. Ответ: а, б) построено.

4. Ответ: построено.

Решени.

Вариант 5

1(a). Для решения системы уравнений запишем ее в виде В первом уравнении произведение двух множителей равно нулю. Поэтому один из этих множителей равен нулю. Получаем две системы линейных уравнений:

ее решение х = 1, у = -1;

ее решение х = -2, у = -5.

Ответ: (1; -1), (-2; -5).

1(б). Для решения системы уравнений в первом уравнении введем новую переменную Получаем уравнение 3t + 2 · 1/t = 5 , или 3t2 - 5t + 2 = 0, корни которого t = 1 и t = 2/3. Вернемся к старым неизвестным. Получаем две системы уравнений:

откуда и х = у = 4;

откуда и x = 400/121, y = 900/121.

Ответ: (4; 4), (400/121; 900/121).

2. В первом уравнении системы выделим целую часть и запишем ее в виде Так как х и у целые числа, то у - 5 = 1, тогда у = 6 и х = 8 или у - 5 = -1 (тогда у = 4 и х = 6). Легко проверить, что второму уравнению системы удовлетворяет только решение (6; 4).

Ответ: (6; 4).

3. Пусть скорость велосипедиста х км/ч и длина пути у км. Запишем условия задачи: Разделим уравнения друг на друга: и найдем х = 20. Например, из первого уравнения определим

Ответ: 20 км/ч и 20 км.

4(a). В уравнении |у2 - х2| = у + х учтем, что у + х ≥ 0, т. е. у ≥ -х. Запишем уравнение в виде (у + х)|у - х| = у - х, или (y + x)(|у _ x| _ 1) = 0, откуда у + х = 0 (т. е. у = -х) и |у - х| - 1 = 0, или |у - х| = 1, или у - х = ±1 (т. е. у = х ± 1). Построим прямую у = -х и две параллельные прямые у = х ± 1 для у > -х. Получаем график данного уравнения.

Ответ: построено.

4(б). Неравенство |3х - у + 1| ≤ 2 запишем в виде -2 ≤ 3х – у + 1 ≤ 2, или -3 ≤ 3х - у ≤ 1, или 3 ≥ у - 3х ≥ -1, или 3х - 1 ≤ у ≤ 3х + 3. Построим две параллельные прямые y = 3х - 1 и y = 3х + 3. Легко проверить, что данному неравенству удовлетворяет множество точек, расположенных между этими прямыми. Получаем график данного неравенства.

Ответ: построено.

Вариант 6

1(a). Для решения системы уравнений запишем ее в виде В первом уравнении произведение двух множителей равно нулю. Поэтому один из этих множителей равен нулю. Получаем две системы линейных уравнений:

ее решение х = 1, y = -1;

ее решение х = -7, у = -11.

Ответ: (1; -1), (-7; -11).

1(б). Для решения системы уравнений в первом уравнении введем новую переменную Получаем уравнение 4t + 2/t = 9, или 4t2 - 9t + 2 = 0, корни которого t = 2 и t = 1/4. Вернемся к старым неизвестным. Получаем две системы уравнений:

откуда и x = 36; y = 9.

откуда и x = 256/25; y = 16/25.

Ответ: (36; 9), (256/25; 16/25).

2. В первом уравнении системы выделим целую часть и запишем ее в виде Так как х и у целые числа, то у - 4 = 1, тогда у = 5 и х = 7 или у - 4 = -1 (тогда у = 3 и х = 5). Легко проверить, что второму уравнению системы удовлетворяет только решение (5; 3).

Ответ: (5; 3).

3. Пусть скорость велосипедиста х км/ч и длина пути у км. Запишем условия задачи: Разделим уравнения друг на друга: и найдем х = 20. Например, из первого уравнения определим

Ответ: 20 км/ч и 29 км.

4(a). В уравнении |у2 - х2| = у - х учтем, что у - х ≥ 0, т. е. у ≥ х. Запишем уравнение в виде (у - х)|у + х| = у - х, или (y - x)(|y + х| - 1) = 0, откуда у - х = 0 (т. е. у = х) и |у + х| - 1 = 0, или |у + х| = 1, или у + х = ±1 (т. е. у = -х ± 1). Построим прямую у = х и две параллельные прямые у = -х ± 1 для у > х. Получаем график данного уравнения.

Ответ: построено.

4(б). Неравенство |2х + у - 2| ≤ 1 запишем в виде -1 ≤ 2x + у -2 ≤ 1, или -2х + 1 ≤ y ≤ -2х + 3. Построим две параллельные прямые у = -2х + 1 и y = -2х + 3. Легко проверить, что данному неравенству удовлетворяет множество точек, расположенных между этими прямыми. Получаем график данного неравенства.

Ответ: построено.