Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Последовательности - Арифметическая прогрессия - Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цель: рассмотреть основные понятия, связанные с последовательностями.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала

Множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер, называют последовательностью.

Пример 1

а) В последовательности положительных нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, ... известно, что первое число равно 1, второе число равно 3, третье число равно 5 и т. д.

б) В последовательности правильных дробей с числителем 1: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... известно, что первое число равно 1/2, второе число равно 1/3, третье число равно 1/4 и т. д.

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена: а1, а2, а3, ..., аn, ... . Соответственно, член последовательности с номером n (или n-й член последовательности) обозначают аn, а саму последовательность - (аn).

Пример 2

Рассмотрим последовательность натуральных трехзначных чисел: 100; 101; 102;...; 999. В ней: а1 = 100, а2 = 101, а3 = 102,..., а900 = 999. Член этой последовательности с номером n (n-й член последовательности) можно вычислить по формуле аn = 99 + n, где n = 1, 2, 3, ..., 900.

Последовательность может содержать бесконечно много членов (пример 1). Такую последовательность называют бесконечной. Последовательность может содержать и конечное число членов (пример 2). Такую последовательность называют конечной.

Последовательность необходимо задать, т. е. указать способ, с помощью которого можно найти каждый ее член. Рассмотрим основные способы задания последовательностей.

1. Аналитический способ (формула n-го члена)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти по номеру и ее член аn.

Пример 3

а) Пусть последовательность задана формулой аn = 3n - 2. Подставляя вместо n натуральные числа, находим члены последовательности: a1 = 3 · 1 - 2 = 1, а2 = 3 · 2 - 2 = 4, а3 = 3 · 3 - 2 = 7 и т. д.

Имеем последовательность: 1, 4, 7, ... .

б) Пусть последовательность задана формулой Подставляя вместо и натуральные числа, находим члены последовательности: и т. д. Имеем последовательность: 0, 1, 0, 1, ... .

2. Аналитический способ (рекуррентная формула)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти следующие члены последовательности, если известны один или несколько предыдущих членов.

Пример 4

а) Пусть последовательность задана формулой аn+1 = 2аn + 3, где a1 = 5 и n ≥ 1. Запишем рекуррентную формулу для n = 1: а1+1 = 2a1 + 3, или а2 = 2 · 5 + 3 = 13.

Пишем формулу для n = 2: a2+1 = 2а2 + 3, или а3 = 2 · 13 + 3 = 29.

Запишем формулу для n = 3: а3+1 = 2а3 + 3, или а4 = 2 · 29 + 3 = 61 и т. д.

Имеем последовательность: 5, 13, 29, 61, ... .

б) Пусть последовательность задана формулой аn+2 = 2аn+1 + 3аn, где a1 = 1, а2 = 2 и n ≥ 1. Запишем рекуррентную формулу для n = 1: а1+2 = 2a1+1 + 3а1, или а3 = 2а2 + 3а1, или а3 = 2 · 2 + 3 · 1 = 7.

Пишем формулу для n = 2: а2+2 = 2a2+1 + 3а2, или а4 = 2а3 + 3а2 = 2 · 7 + 3 · 2 = 20.

Запишем формулу для n = 3: а3+2 = 2а3+1 + 3а3, или а5 = 2а4 + 3а3, или a5 = 2 · 20 + 3 · 7 = 61 и т. д.

Имеем последовательность: 1, 2, 7, 20, 61, ... . .

3. Описательный способ

Описывается способ получения членов последовательности.

Пример 5

а) Рассмотрим последовательность натуральных четных чисел. Из описания последовательности легко выписать ее члены: 2, 4, 6, 8, ... .

б) Рассмотрим последовательность приближений по недостатку с точностью до и цифр иррационального числа л. Из описания последовательности выписываем ее члены: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... .

Теперь рассмотрим два основных свойства последовательностей.

1. Ограниченность последовательности

Последовательность (аn) называют ограниченной, если существуют два таких числа а и А, что для любого натурального номера n выполнено неравенство: а ≤ аn ≤ А.

Пример 6

Докажем ограниченность последовательности

Найдем первый член последовательности и член последовательности с очень большим номером n, например:

Возникает гипотеза, что последовательность ограничена и а = 0, и А = 1. Поэтому надо доказать, что при всех натуральных значениях n выполнено неравенство

Очевидно, что левая часть неравенства выполняется.

Рассмотрим правую часть неравенства Так как выражение n + 2 положительно, то получаем неравенство n - 1 ≤ n + 2, или -1 ≤ 2, которое является верным.

2. Монотонность последовательности

Последовательность (аn) называют возрастающей, если каждый ее член (начиная со второго) больше предыдущего, т. е. аn+1 > аn для n ≥ 1.

Последовательность (аn) называют убывающей, если каждый ее член (начиная со второго) меньше предыдущего, т. е. аn+1 < аn для n ≥ 1.

Пример 7

Определим монотонность последовательности

Запишем (n + 1)-й член последовательности

Найдем разность двух соседних членов:

Так как n - натуральное число, то при всех n дробь положительна. Поэтому an+1 – аn > 0, или аn+1 > аn, при всех n. Тогда по определению данная последовательность (аn) возрастающая.

Как видно из этого урока, понятия последовательности и функции, их способы задания и свойства очень похожи. Поэтому последовательность (аn) можно рассматривать как функцию аn натурального аргумента n.

III. Контрольные вопросы

1. Определение последовательности.

2. Основные способы задания последовательности.

3. Ограниченность последовательности.

4. Монотонность последовательности.

IV. Задание на уроке

№ 560; 562; 564 (а, в); 565 (б, г, е); 57; 568 (а); 569 (а, г); 570 (б).

V. Задание на дом

№ 561; 563; 564 (б, г); 565 (а, в, д); 566; 568 (б); 569 (б, в); 570 (а).

VI. Творческие задания

1. Найдите четыре первых члена последовательности (аn), если: