Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Квадратный корень из произведения и дроби - СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ - КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Цель: рассмотреть свойства квадратного корня из произведения и дроби.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Перечислите основные свойства функции и нарисуйте ее график. .

2. Сравните числа:

3. Расположите числа в порядке возрастания:

4. В какой точке график функции пересекает прямая у = -2х - 1 (если они пересекаются)?

Вариант 2

1. Перечислите основные свойства функции у = х2 и нарисуйте ее график.

2. Сравните числа:

3. Расположите числа в порядке убывания:

4. В какой точке график функции пересекает прямая у = -3х - 2 (если они пересекаются)?

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Теорема: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей, т. е. (где a ≥ 0 и b ≥ 0). Докажем это утверждение. Для этого покажем, что выполняются два условия:

Так как a ≥ 0 и b ≥ 0, то каждое из выражений имеет смысл. По определению арифметического квадратного корня выражения принимают только неотрицательные значения. Поэтому произведение неотрицательно.

Используя свойство степени произведения, имеем: Таким образом, мы показали, что выполняются условия 1) и 2). Значит, при любых неотрицательных значениях а и b по определению арифметического квадратного корня выполняется равенство

Пример 1

Найдем значение выражения:

а) Используем теорему о корне из произведения:

б) Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа. Применим также теорему о корне из произведения. Имеем:

в) В подкоренном выражении разложим разность квадратов чисел на множители и используем теорему о корне из произведения. Получаем:

Доказанная теорема справедлива и в случае, когда число множителей в подкоренном выражении больше двух. Докажем это утверждение, например, для трех множителей a ≥ 0, b ≥ 0 и с ≥ 0. Получаем:

Пример 2

Еще раз вернемся к примеру 16) и получим:

Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби. Теорема: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен отношению корня из числителя к корню из знаменателя, т. е. (где а ≥ 0 и b > 0). Докажем это утверждение. Для этого покажем, что выполняются два условия: 1) и 2)

Так как а ≥ 0 и b > 0, то каждое из выражений имеет смысл. По определению арифметического квадратного корня выражение принимает только неотрицательные значения, а выражение — только положительные значения. Поэтому дробь неотрицательна.

Используя свойства степени дроби, имеем Таким образом, мы показали, что выполняются условия 1) и 2). Значит, при любых неотрицательных значениях а и положительных значениях b по определению арифметического квадратного корня выполняется равенство