Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год
Контрольная работа № 6 по теме Многочлены - ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ - МНОГОЧЛЕНЫ
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Общая характеристика контрольной работы
Контрольная работа составлена в шести вариантах (варианты 1,2 — самые простые, варианты 3, 4 — средней сложности, варианты 5, 6 — самые сложные). Степень сложности меняется не слишком резко, поэтому можно рекомендовать следующий критерий оценки: при выполнении вариантов 1, 2 оценка “3” ставится за любые три решенные задачи, оценка “4” — за четыре задачи и оценка “5” — за пять задач. Одна задача дает учащимся некоторую свободу выбора. При тех же критериях оценки за решение задач вариантов 3, 4 к набранным баллам добавляются дополнительно 0,5 балла, за решение задач вариантов 5,6 — дополнительно 1 балл (т. е. оценка “5” выставляется уже за четыре задачи). Все задачи в варианте примерно равноценны. Возможно, несколько труднее для учеников задачи 5, 6.
Перед проведением контрольной работы учащихся целесообразно ознакомить с критериями оценки и разной сложностью вариантов. Выбор вариантов может быть осуществлен учителем или предоставлен ученикам (в этом случае предполагается наличие копировальной техники в школе и избыточное количество заданий). При наличии такой техники в классе на стенде (после контрольной) может быть вывешено решение всех задач шести вариантов.
Контрольная работа рассчитана на один урок.
III. Контрольная работа
Вариант 1
1. Упростите выражение:
2. Разложите на множители многочлен:
3. Решите уравнение:
4. Докажите, что выражение 272 - 182 кратно 5.
5. Катер с собственной скоростью 20 км/ч проплыл 4 ч по течению реки и 6 ч — против течения. Весь путь катера составил 196 км. Найдите скорость течения реки.
6. Постройте график функции 
Вариант 2
1. Упростите выражение:
2. Разложите на множители многочлен:
3. Решите уравнение:
4. Докажите, что выражение 212 - 142 кратно 5.
5. Катер с собственной скоростью 30 км/ч проплыл 3 ч по течению реки и 6 ч — против течения. Весь путь катера составил 261 км. Найдите скорость течения реки.
6. Постройте график функции 
Вариант 3
1. Упростите выражение
2. Разложите на множители выражение:
3. Решите уравнение:
4. Докажите, что выражение 
кратно 37.
5. Если одну сторону квадрата увеличить на 6 см, а другую сторону увеличить на 3 см, то площадь получившегося прямоугольника будет на 99 см2 больше площади квадрата. Найдите периметр квадрата.
6. Постройте график функции 
Вариант 4
1. Упростите выражение
2. Разложите на множители выражение:
3. Решите уравнение:
4. Докажите, что выражение 
кратно 24.
5. Если одну сторону квадрата увеличить на 7 см, а другую сторону увеличить на 3 см, то площадь получившегося прямоугольника будет на 141 см2 больше площади квадрата. Найдите периметр квадрата.
6. Постройте график функции 
Вариант 5
1. Докажите, что при всех значениях а, b и с значение выражения 
больше числа -3/7.
2. Разложите на множители выражение:
3. Решите уравнение:
4. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения n2 + 3n + 1 будет нечетным числом.
5. Найдите целые значения х и у, удовлетворяющие равенству у(х - 2) = 13 - 5х.
6. Постройте график функции 
Вариант 6
1. Докажите, что при всех значениях а, b и с значение выражения 
меньше числа 2/3.
2. Разложите на множители выражение:
3. Решите уравнение:
4. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n2 + 5n + 3 будет нечетным числом.
5. Найдите целые значения x и у, удовлетворяющие равенству x(y + 4) = 3у + 15.
6. Постройте график функции 
IV. Подведение итогов контрольной работы
1. Распределение работ по вариантам и результаты решения. Удобно данные заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).
|
№ задачи |
Итоги |
|||
|
+ |
± |
- |
Ø |
|
|
1 |
5 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
||||
|
... |
||||
|
6 |
||||
Обозначения:
+ — число решивших задачу правильно или почти правильно;
± — число решивших задачу со значительными погрешностями;
- — число не решивших задачу;
Ø — число не решавших задачу.
Варианты 1, 2 — 8 учащихся.
2. Типичные ошибки при решении задач.
3. Задачи, вызвавшие наибольшие трудности.
V. Разбор задач (ответы и решения)
Вариант 1
3. а) х = 0; б) x = 14.
4. Доказано.
5. 2 км/ч.
6. Прямая у = х - 1, x ≠ 0.
Вариант 2
3. а) х = 0; б) x = 9.
4. Доказано.
5. 3 км/ч.
6. Прямая у = х + 1, x ≠ 0.
Вариант 3
1. 10 аb.
4. Доказано.
5. 36 см.
6. Парабола у = х2 - 1, х ≠ -2.
Вариант 4
1. 20аb.
3. а) х = 5; б) x = -1,5 и х = 3.
4. Доказано.
5. 48 см.
6. Парабола у = х2 + 1, х ≠ 2.
Вариант 5
1. Упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены. Получаем 
При всех значениях переменных а, b и с выражения а2 ≥ 0, b2 ≥ 0 и с2 ≥ 0. Поэтому выражение 2(а2 + b2 + с2) больше любого отрицательного числа (например, числа -3/7).
(Ответ: доказано.)
2. Разложим данное выражение на множители.
а) Сгруппируем члены и вынесем общие множители за скобки:
б) В выражении вынесем общий множитель 3а - 2b за скобки:
3. Для решения данного уравнения разложим левую часть на множители.
а) В уравнении х2 + 8х + 15 = 0 член 8х представим в виде суммы слагаемых: 8х = 3х + 5х. Запишем уравнение в виде х2 + 3х + 5х + 15 = 0, или (х2 + 3х) + (5х + 15) = 0, или х(х + 3) + 5(х + 3) = 0, или (х + 3)(х + 5) = 0.
Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем линейные уравнения х + 3 = 0 (корень х = -3) и х + 5 = 0 (корень х = -5).
Итак, уравнение имеет два корня.
б) В уравнении х2 - 4 = 0 добавим и вычтем 2х. Тогда уравнение имеет вид х2 + 2х - 2х - 4 = 0, или (х2 + 2х) + (-2х - 4) = 0, или х(х + 2) - 2(х + 2) = 0, или (х + 2)(х - 2) = 0.
Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем линейные уравнения х + 2 = 0 (корень х = -2) и х - 2 = 0 (корень х = 2).
Это уравнение также имеет два корня.
(Ответы: а) х = -3 и х = -5; б) х = -2 и х = 2.)
4. Запишем данное выражение в виде 
При любом натуральном значении n числа n и n + 1 — два последовательных натуральных числа, поэтому одно из них число четное и произведение n(n + 1) будет четным числом. Число 2n имеет множитель 2 и также является четным. Поэтому сумма четных чисел n(n + 1) и 2n и нечетного числа 1 будет числом нечетным.
(Ответ: доказано.)
5. Преобразуем данное равенство у(х - 2) = 13 - 5х. Для этого запишем его в виде у(х - 2) + 5х - 10 = 3, или у(х - 2) + 5(х - 2) = 3, или (х - 2)(у + 5) = 3.
По условию числа х и у — целые, поэтому числа х - 2 и у + 5 также являются целыми. Тогда левая часть равенства является произведением двух целых чисел, которые будут делителями числа 3, стоящего в правой части. Рассмотрим четыре случая:
1) х - 2 = 1 и у + 5 = 3 (откуда х = 3 и у = -2);
2) х - 2 = -1 и у + 5 = -3 (откуда х = 1 и у = -8);
3) х - 2 = 3 и у + 5 = 1 (откуда х = 5 и у = -4);
4) х - 2 = -3 и у + 5 = -1 (откуда х = -1 и у = -6).
(Ответ: х - 3, у = -2; х = 1, у = -8; х = 5, у = -4; х = -1, у = -6.)
6. Преобразуем данную функцию 
Учтем, что знаменатель х ≠ 0. Разложим числитель дроби на множители и сократим дробь: 
Данную функцию можно записать в виде у = (х + 1)2. Построим график этой функции (парабола). Он получается из графика функции у = х2 его смещением на одну единицу влево. Удалим из графика точку с абсциссой х = 0 (показана стрелками).
Вариант 6
1. Упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены. Получаем 
При всех значениях переменных а, b и с выражения а2 ≥ 0, b2 ≥ 0 и с2 ≥ 0. Поэтому выражение -3(а2 + b2 + с2) меньше любого положительного числа (например, числа 2/3).
(Ответ: доказано.)
2. Разложим данное выражение на множители.
а) Сгруппируем члены и вынесем общие множители за скобки:
б) В выражении вынесем общий множитель 2а – 3b за скобки:
3. Для решения данного уравнения разложим левую часть на множители.
а) В уравнении х2 + 7х + 10 = 0 член 7х представим в виде суммы слагаемых: 7х = 2х + 5х. Запишем уравнение в виде х2 + 2х + 5х + 10 = 0, или (x2 + 2х) + (5х + 10) = 0, или x(x + 2) + 5(х + 2) = 0, или (х + 2)(х + 5) = 0.
Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем линейные уравнения х + 2 = 0 (корень х = -2) и х + 5 = 0 (корень х = -5).
Итак, уравнение имеет два корня.
б) В уравнении х2 - 9 = 0 добавим и вычтем Зх. Тогда уравнение имеет вид х2 + 3х - 3х - 9 = 0, или (х2 + 3х) + (-3х - 9) = 0, или х(х + 3) - 3(х + 3) = 0, или (х + 3)(х - 3) = 0.
Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем линейные уравнения х + 3 = 0 (корень х = -3) и х - 3 = 0 (корень х = 3).
Это уравнение также имеет два корня.
(Ответы: а) х = -2 и х = -5; б) х = -3 и х = 3.)
4. Запишем данное выражение в виде 
При любом натуральном значении n числа n и n + 1 — два последовательных натуральных числа, поэтому одно из них число четное и произведение n(n + 1) будет четным числом. Число 4n имеет множитель 4 и также является четным. Поэтому сумма четных чисел n(n + 1) и 4n и нечетного числа 3 будет числом нечетным.
(Ответ: доказано.)
5. Преобразуем данное равенство х(у + 4) = 3у + 15. Для этого запишем его в виде х(у + 4) - 3у - 12 = 3, или х(у + 4) - 3(у + 4) = 3, или (у + 4)(х - 3) = 3.
По условию числа х и у — целые, поэтому числа у + 4 и х - 3 также являются целыми. Тогда левая часть равенства является произведением двух целых чисел, которые будут делителями числа 3, стоящего в правой части. Рассмотрим четыре случая:
1) У + 4 = 1 и х - 3 = 3 (откуда х = 6 и у = -3);
2) у + 4 = - 1 и х - 3 = -3 (откуда х = 0 и у = -5);
3) у + 4 = 3 и х - 3 = 1 (откуда х = 4 и у = -1);
4) у + 4 = -3 и х - 3 = -1 (откуда х = 2 и у = -7).
(Ответ: х = 6, у = -3; х = 0, у = -5; х = 4, у = -1; х = 2, у = -7.)
6. Преобразуем данную функцию 
Учтем, что знаменатель х ≠ 0. Разложим числитель дроби на множители и сократим дробь: 
Данную функцию можно записать в виде у = (х - 1)2. Построим график этой функции (парабола). Он получается из графика функции у = х2 его смещением на одну единицу вправо. Удалим из графика точку с абсциссой х = 0 (показана стрелками).
VI. Подведение итогов урока