Зачет по теме «Метод координат в пространстве» - урок 2 - КОНТРОЛЬНЫЕ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Выполнение работы (по карточкам)

Карточка 1

1. Расскажите, как задастся прямоугольная система координат в пространстве и как определяются координаты вектора.

2. Выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин.

3. № 1. Даны векторы Определить значения m, при которых угол между векторами является: а) острым; б) прямым; в) тупым.

№ 2. Даны векторы Определить, при каких значениях k угол между векторами а) острый; б) прямой; в) тупой.

№ 3. Вершины ΔABC имеют координаты А(m; -3; 2), B(9; -1; 3), С(12; -5; -1). Определите значения m, при которых угол С треугольника тупой.

Карточка 2

1. Расскажите о связи между координатами векторов и координатами точек.

2. Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его концов.

3. № 1. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2), D(2;-3; 1).

№ 2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(1; 1; 0), В(3; -1; 2), D(0; 1; 0).

№ 3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Используя метод координат, найдите угол между прямыми АВ1 и A1D.

Карточка 3

1. Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов, используя скалярное произведение.

2. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

3. № 1. Даны точки А(-3; 1; 2) и В(1; -1; -2). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ; б) координаты и длину вектора в) координаты точки С, если

№ 2. Даны точки А(0; 4; 0), В(2; 0; 0), С(4; 0; 4) и D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD - ромб.

№ 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(√2 ; 1; 2), С(√2 ; 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD - квадрат.

Карточка 4

1. Сформулируйте основные свойства скалярного произведения векторов. Докажите некоторые из этих свойств.

2. Выведите формулу для вычисления расстояния между точками с заданными координатами.

3. № 1. Даны точки А(2; 1; -8), В(1; -5; 0), С(8; 1; -4). Докажите, что ΔАВС - равнобедренный и найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

№ 2. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD: А(-6; -4; 0), В(6; -6; 2), С(10; 0; 4). Найдите координаты точки D и угол между векторами

№ 3. Даны точки А(2; 5; 8) и В(6; 1; 0). Найдите: а) на оси ординат точку С, равноудаленную от точки А и В; б) площадь треугольника АВС.

Карточка 5

1. Докажите, что центральная и осевые симметрии являются движениями.

2. Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.

3. № 1. Найдите скалярное произведение векторов если:

№ 2. Даны векторы Найдите если

№ 3. Даны векторы Вычислите скалярное произведение

Карточка 6

1. Докажите, что зеркальная симметрия и параллельный перенос являются движениями.

2. Расскажите, как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих векторов этих прямых.

3. № 1. Даны точки М(-4; 7; 0) и N(0; -1; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка МN (векторно-координатным способом).

№ 2. Даны координаты вершины тетраэдра МАВС: М(2; 5; 7), A(1; -3; 2), В(2; 3; 7), С(3; 6; 0). Найдите расстояние от точки М до точки О пересечения медиан ΔABC.

№ 3. В тетраэдр DABC DA = 5 см, AB = 4 см, АС = 3 см, ∠ВАС = 90°, ∠DAB = 60°, ∠DAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника DBC.