Простейшие задачи в координатах - Координаты точки и координаты вектора - МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цели урока:

- вывести формулы координат середины отрезка, длины вектора через его координаты и расстояния между двумя точками;

- показать примеры решения стереометрических задач координатно-векторным методом.

Ход урока

I. Поверка домашнего задания

Проверка домашнего задания осуществляется через кодоскоп. Воспроизводятся решения уровней Б и В.

Уровень Б

№ 419. Дано: ΔABC; А(1; 6; 2), 5(2; 3; -1), С(-3; 4; 5) .

Разложить: по координатным векторам

Решение:

№ 421 а), б).

а) Дано: А(3; -7; 8), В(-5; 4; 1), С(27; -40; 29).

Установить: А; В; С лежат ли на одной прямой.

Решение: Если коллинеарные, то А; В; С лежат на одной прямой - коллинеарные, то есть координаты векторов пропорциональные числа, А, В, С лежат на одной прямой.

б) Дано: А(-5; 7; 12), В(4; -8; 3), С(13; -23; -6).

Установить: А; В; С лежат ли на одной прямой.

Решение: Если коллинеарные, то А; В; С лежат на одной прямой. - коллинеарные, то есть координаты векторов пропорциональные числа. А; В; С лежат на одной прямой.

Уровень В

№ 422 б). Дано: А(0; 1; 0), В(3; 4; -1), С(-2; -3; 0), D(2; 0; 3)

Установить: А; В; С; D лежат ли в одной плоскости.

Решение: Сравнивая координаты векторов, мы видим, что они - непропорциональные числа, делаем вывод, что векторы - не коллинеарные. 2) Проверим компланарность векторов. Предположим, что вектор можно разложить по векторам . Если коэффициенты разложения х; у находятся однозначно, то векторы - компланарны и данные точки лежат в одной плоскости. . Составим и решим систему уравнени.

Вывод: векторы: - компланарны. Точки А; В; С; D не лежат в одной плоскости.

II. Контролирующая самостоятельная работа

Цель работы: В течение 10-15 мин., в зависимости от уровня подготовленности класса, провести работу с целью проверки усвоения: а) нахождение координат вектора по заданным координатам точек - начала и конца вектора; б) нахождение координат вектора, выраженного через другие векторы, координаты которых заданы; в) нахождение коэффициента пропорциональности для коллинеарных векторов и параметрических переменных, входящих в заданные координаты векторов; г) использование понятия равных векторов; компланарных векторов при решении задач.

Контролирующая самостоятельная работа (см. приложение).

Решение контролирующей самостоятельной работы

I вариант	II вариант
Уровень А
1. Дано: Найти: х; у; z. Решение:	1. Дано: Найти: х; у; z. Решение:
2. Дано: Найти: Решение:	2. Дано: Найти: Решение:
3. Дано: Найти: - коллинеарные. Решение:	3. Дано: Найти: - коллинеарные. Решение:
Уровень Б
1. Дано: А(2; -1; 0), В(-3; 2; 1), С(1; 1; 4). Найти: D (х; у; z) | Решение:	1. Дано: А(2; -1; 0), В(-3; 2; 1), С(1; 1; 4). Найти: D (х; у; z) | Решение: D(-2; 0; -3).
2. Дано: коллинеарные. Найти: m; n. Решение: коллинеарные,	2. Дано: коллинеарные. Найти: m; n. Решение: коллинеарные,
3. Дано: А(6; -1; 0), В(0; 3; -2), С(3; 1; -1). Доказать: А; В; С лежат на одной прямой. Какая из них лежит между двумя другими. Решение: С лежит между А и В. .	3. Дано: А(0; 0; -1), В(5; -3; 1), С(-5; 3; -3). Доказать: А; В; С лежат на одной прямой. Какая из них лежит между двумя другими. Решение: А лежит между С и В.
Уровень В
1. Дано: А(2; -1; 0), В(-3; 2; 1), С(1; 1; 4), Найти: D (х; у; z) Решение: D(11; -5; 2).	1. Дано: А(2; -1; 0), В(-3; 2; 1), С(1; 1; 4), Найти: D (х; у; z) Решение: D(0; -1/2; -1,5).
2. Дано: - коллинеарные. Найти: m; n. Решение: - коллинеарные.	2. Дано: - коллинеарные. Найти: m; n. Решение:
3. Дано: A(1; 1; 1), В(-1; 0; -1), С(0; 2; 2), D(2; 0; 0). Установить: А; В; С; D лежат ли в одной плоскости. Решение: 1) . Векторы — коллинеарные, так как их координаты пропорциональные числа. 2) Проверим компланарность векторов. Предположим, что вектор можно разложить по векторам (2): 0 + 1 = 1; 1 = 1 (верно) векторы - компланарны. Точки A; B; C; D лежат в одной плоскости.	3. Дано: А(1; 0; -1), В(-2; -1; 0), С(0; -2; -1), D(1; 5; 0). Установить: А; В; С; D лежат ли в одной плоскости. Решение: 1) . Векторы - неколлинеарные, так как их координаты не пропорциональны. 2) Проверим компланарность векторов. Предположим, что вектор можно разложить по векторам -5 = -5 (верно) векторы - компланарны. Точки А; В; С; D лежат в одной плоскости.

III. Объяснение нового материала

1. Координаты середины отрезка

Пусть А(х2; у2; z2), В(х2; у2; z2) (рис. 1). Найдем координаты середины отрезка АВ - точки С(х; у z).

Итак, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

2. Вычисление длины вектора по его координатам (рис. 2).

Найдем длину вектора то есть Из прямоугольного параллелепипеда найдем длину диагонали ОА.

3. Расстояние между двумя точками (рис. 3).

Пусть M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), Подставляя в формулу (1) получаем

Это доказательство ученики проводят в тетрадях самостоятельно.

IV. Закрепление нового материала

Отработка полученных знаний, умений и навыков.

К доске вызываются 2 ученика, которые решают № 424 а), 426 а).

Задача № 424 а).

Дано: А(0; 3; -4), В(-2; 2; 0), М- середина АВ.

Найти: М(х; у; z).

Решение:

(Ответ: М(-1; 2,5; -2).)

Задача № 426 а).

Дано: А(-1; 0; 2), B(1; -2; 3).

Найти:

Решение:

(Ответ: )

V. Демонстрация слайда

Точка пересечения медиан треугольника.

М - точка пересечения медиан треугольника ABC, О - начало координат (рис. 4.) A(x1; y1; z1); B(x2; y2; z2); C(x3;y3;z3); M(x; y; z).

VI. Подведение итогов

Сегодня мы на уроке проверили усвоение правил нахождения координат вектора, коэффициента пропорциональности для коллинеарных векторов. Вывели формулы для вычисления координат середины отрезка, длины вектора через его координаты и расстояния между двумя точками. Отрабатывали умения и навыки решения стереометрических задач координатновекторным методом.

Домашнее задание

Уровень А: № 424 б); в); 425 а); 426.

Уровень Б: + № 429.

Творческое задание: составить карточки-задания номеров, аналогичных номерам в самостоятельной работе и задачам № 424—426.