Объем шара - Объем шара и площадь сферы - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цель урока:

- вывести формулу объема шара, показать ее применение при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний

Теоретический опрос (фронтальная работа с классом).

- Дайте определение, что называется шаром, радиусом и диаметром шара?

- Дайте определение площади поверхности шара. Запишите формулу площади поверхности шара (S = 4πR2).

III. Изучение нового материала

- Мы уже рассмотрели формулы для вычисления объемов некоторых многогранников и круглых тел. (На доске иллюстрации с изображением многогранников и круглых тел).

- Давайте вспомним и запишем под каждой фигурой уже известные нам формулы объемов.

Задумывались ли вы над таким вопросом: как давно появились эти формулы, и кто первым открыл их?

Еще до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы и цилиндра) были известны.

Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евклида и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел.

В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И. Ноготыса и Г. Лейбница гораздо позднее того как были открыты сами формулы. Изучим и мы доказательство формулы (Показать портреты ученых, о которых было упомянуто в разговоре.)

Для доказательства используем метод координат, который ввел в геометрию Р. Декарт.

Рассмотрим шар радиуса Я с центром в точке О и выберем ось ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной ох, является кругом с центром в т. М ∉ ох и радиусом R.

Обозначим площадь сечения S(x), где х - абсцисса точки М.

Из ΔОМС Тогда где –R ≤ х ≤ R.

Теорема об объеме шара доказана.

В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно использовать формулу: где D - диаметр шара.

IV. Формирование умений и навыков учащихся

1. Работа в рабочих тетрадях:

а) разобрать и записать решение задачи № 710 в) (краткое решение).

Дано: шар, S = 64π см2.

Найти: R и V.

Решение: Так как имеем Тогда (Ответ: R = 4 см, )

б) задача № 712.

Дано: Vшара = Vцил., Dшара = Dцил.

Выразить Hцил. через R.

Решение. (Ответ: Н = 4/3R.)

в) разобрать и записать в тетрадях вопрос № 9 к главе VII (стр. 161).

(Ответ: )

Дополнительная задача.

На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр, в ... раз меньше объема цилиндра и что также относятся поверхности этих тел». Найдите отношение объема шара к объему цилиндра и отношение площади шара к площади поверхности цилиндра.

Решение: Вспомнив формулы, о которых говорилось в условии задачи, запишем отношение

Эти отношения и соотношения следует выделить и запомнить.

V. Подведение итогов

- Чему равно отношение объема шара к объему цилиндра, если их радиусы равны?

Домашнее задание

П. 71 № 710 а), б); 711, 713 (выучить доказательство теоремы). Дополнительная задача: Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено? Решение:

1) Из условия задачи вытекает, что высота цилиндра H = 2R, подставим значение Н в формулу объема цилиндра:

2) Объем шара

3) Найдем, сколько сточено материала:

4) Найдем, сколько % составляет сточенный материал: (Ответ: )