Урок 15. Контрольная работа по теме «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости» - Контрольные и самостоятельные работы - ПРИЛОЖЕНИЯ

I уровень

Вариант I

1. Прямые а и b пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые b и с быть параллельными?

2. Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD - точки М и N.

а) Докажите, что AD || α.

б) Найдите ВС, если AD = 10 см, MN = 8 см.

3. Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА и ВС - скрещивающиеся прямые.

б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если ∠МАР = 45° .

Вариант II

1. Прямые а и b пересекаются. Прямые а и с параллельны. Могут ли прямые b и с быть скрещивающимися?

2. Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. М и N - середины боковых сторон трапеции.

а) Докажите, что MN || α.

б) Найдите AD, если ВС = 4 см, MN = 6 см.

3. Прямая CD проходит через вершину треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. Е и F - середины отрезков АВ и ВС.

а) Докажите, что CD и EF - скрещивающиеся прямые.

б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCА = 60°.

II уровень

Вариант I

1. Прямая а параллельна плоскости α, a прямая b лежит в плоскости α. Определите, могут ли прямые а и b:

а) быть параллельными;

б) пересекаться;

в) быть скрещивающимися.

2. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD || ВС).

а) Докажите, что треугольники MAD и МВС имеют параллельные средние линии.

б) Найдите длины этих средних линий, если AD : ВС = 5 : 3, а средняя линия трапеции равна 16 см.

3. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая КА, не лежащая в плоскости квадрата.

a) Докажите, что КА и CD - скрещивающиеся прямые,

б) Найдите угол между КА и CD, если ∠САКВ = 850, ∠АВК= 450..

Вариант II

1. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α. Определите, могут ли а и b:

а) быть параллельными;

б) пересекаться;

в) быть скрещивающимися.

2. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причем KP || MN, EF || AC.

а) Докажите, что АС || КР.

б) Найдите КР и MN, если КР : MN = 3 : 5, АС = 16 см.

3. Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD.

а) Докажите, что МС и AD - скрещивающиеся прямые.

б) Найдите угол между МС и AD, если ∠МВС = 700, ∠ВМС = 650.

III уровень

Вариант I

1. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямая а параллельна прямой l и является скрещивающейся с прямой b. Определите, могут ли прямые а и b:

а) лежать в одной из данных плоскостей;

б) лежать в разных плоскостях α и β;

в) пересекать плоскости α и β. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b.

2. Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС треугольника ABC в точках М и N соответственно, причем АМ : МВ = 3 : 4, CN : ВС = 3 : 7.

а) Докажите, что АС || α.

б) Найдите АС, если MN = 16 см.

3. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и BD, если АС = 6 см, BD = 8 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС равно 5 см. .

Вариант II

1. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямые l и а пересекаются, а прямые l и b параллельны. Определите, могут ли прямые а и b:

а) лежать в одной из плоскостей;

б) лежать в разных плоскостях α и β;

в) пересекать плоскости α и β. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и b.

2. Плоскость α проходит через сторону АС треугольника ABC. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках М и N соответственно, причем BN : NC= 2 : 3, AM: АВ = 3 : 5.

а) Докажите, что MN || α.

б) Найдите MN, если АС = 30 см.

3. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если АВ = CD = 6 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС = 3 см.