Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости - урок 2 - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) закрепить знания, умения и навыки учащихся по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

2) совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания.

№ 129 - устно по заранее подготовленному чертежу;

№ 136 - решение подготовить на доске.

Дополнительную задачу проверить индивидуально у нескольких учеников.

Задача № 129

Дано: ABCD квадрат; AM - прямая; АМ ⊥ (ABCD); АС ∩ BD = О (рис. 1).

Доказать: a) BD ⊥ (АМО); б) МО ⊥ BD.

Доказательство:

1) Так как МА ⊥ (ABCD), то МА ⊥ BD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). BD ⊥ AC (по свойству диагоналей квадрата). МА ⊂ (МАО) и АС ⊂ (МАО), МА ∩ АС = А. Следовательно, BD ⊥ (MAO) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2) Так как BD ⊥ (МАО), то BD ⊥ МО, МО ⊂ (МАО) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Задача № 136

Дано: АВ - отрезок; α; АВ ⊥ α; О - середина АВ, О ∈ α; ХА = ХВ. (рис. 2).

Доказать: X ∈ α.

Доказательство:

1) Если X ∈ АВ, то Х = О, и поэтому X ∈ а.

2) Если X ∉ АВ, то ХО - медиана ΔАХВ. ΔАХВ - равнобедренный (по определению), значит, ХО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника), то есть ХО ⊥ АВ. Таким образом, О ∈ ХО, О ∈ АВ и ХО ⊥ АВ, следовательно, ХО ⊂ а (по задаче № 134) и X ∈ а.

Дополнительная задача

Дано: ΔАВС; АВ = АС = ВС; CD ⊥ (ABC); AM = MB, DM = 15, CD = 12 (рис. 3).

Найти: SΔADB.

Решение:

1) CD ⊥ (ABC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ ВС, тo есть ∠ACD = ∠BCD = 90° и ΔADC, ΔBDC -прямоугольные.

2) ΔADC = ΔBDC (по двум катетам): DC - общий, AC = ВС (по условию). Значит, AD = BD (как соответствующие в равных треугольниках), тогда ΔADB - равнобедренный (по определению) и DM - медиана. Следовательно, DM - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

3) DC ⊥ МС ⇒ ∠DCM = 90° и ΔMCD - прямоугольный. По теореме Пифагора: MD2 = DC2 + МС2. Тогда

4) ΔМСВ - прямоугольный (∠CMB = 90°, так как СМ - медиана и высота в ΔАВС - равностороннем), тогда (по условию),

5) (Ответ: 45√3.)

2. Решить самостоятельно задачу (выполняют учащиеся, у которых нет вопросов по домашнему заданию).

Дан тетраэдр МАВС, угольный, где D ∈ AC, MB ⊥ АВ. Найдите MD и SMBD, если MB = BD = а.

Дано: МАВС - тетраэдр; MB ⊥ АВ, MB ⊥ ВС; D ∈ AC, MB = BD = а (рис. 4).

Доказать: ΔMBD - прямоугольный.

Найти: MD; SMBD.

Решение: Так как то MB ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Значит, (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), то есть ∠MBD = 90°, а значит, ΔMBD - прямоугольный.

2) ΔMBD, по теореме Пифагора:

3) (Ответ: )

III. Математический диктант

I уровень

Ответы записать на листочек и в тетрадь.

Листочек сдается на проверку учителю, а тетрадь остается для самопроверки, которая будет проведена непосредственно по окончанию работы.

Вариант I				Вариант II
1. Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение. Сделайте рисунок.
1.1. Две прямые называются перпендикулярными, если... 1.2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она... 1.3. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они...			1.1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если... 1.2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости... 1.3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая...
2. Ответьте на вопрос
2.1. Сколько перпендикуляров можно провести через данную точку к данной прямой на плоскости?			2.1. Сколько перпендикуляров можно провести через данную точку к данной прямой в пространстве?
3. Выпишите
3.1. Ребра, перпендикулярные плоскости (DCC1). 3.2. Плоскости, перпендикулярные ребру ВВ1.			3.1. Ребра, перпендикулярные плоскости (АВВ1). 3.2. Плоскости, перпендикулярные ребру A1D1.
4. Используя символы || и ⊥ запишите, как расположены прямая и плоскость (по рис. 5 из п. 3). Докажите.
4.1. СС1 и DCB 4.2. D1C1 и DCB		4.1. АА1 и DCB 4.2. В1С1 и DCB
5. АВ ⊥ α, CD ⊥ α, B ∈ α, D ∈ α, АВ = CD. Каково взаимное положение прямой АС и плоскости α? Ответ обоснуйте.		5. AB ⊥ α, CD || АВ (В ∈ α, D ∈ α), Е ∈ α, ∠ECD = 40°. Тогда чему равны ∠CED? Ответ обоснуйте.

Ответы к заданиям математического диктанта

Вариант I	Вариант II
1.1. Угол между ними равен 90°. 1.2. Перпендикулярна и другой. 1.3. Параллельны. 2.1. Один. 3.1. AD, A1D1, ВС, В1С1. 3.2. АВС и А1В1С1. 4.1. СС1 ⊥ (DCB). 4.2. D1С1 || (DCB). 5. АС || α.	1.1. Она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 1.2. Параллельны. 1.3. Перпендикулярна плоскости. 2.1. Один. 3.1. AD1A1D1, BC1B1C1. 3.2. АА1В1 и DD1C1. 4.1. AA1 ⊥ (DCB). 4.2. B1C1 || (DCD). 5. ∠CED = 50°.

II уровень

С самопроверкой по подготовленному решению задач.

№ 1. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной, равной а. Расстояние от бокового ребра до скрещивающейся с ним диагонали параллелепипеда равно... (рис. 6).

Найти: ρ (АА1; B1D).

Решение:

1) (по признаку параллельности прямой и плоскости);

2) Так как ABCD - квадрат, то AC ⊥ BD, то есть

3) (Ответ: )

№ 2. ABCD - квадрат (рис. 7). АЕ - перпендикулярно плоскости квадрата, К ∈ BE. Чему равен угол между ВС и АК.

Найти: ∠(ВС; АК).

Решение:

1) Так как ВС и АК - скрещивающиеся прямые, то ∠(ВС, АК) = ∠(АК; AD), т. к. ВС || AD (по свойству сторон квадрата).

2) AE ⊥ AD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), АВ ⊥ AD, т. к. ∠BAD = 90°, АЕ ∩ АВ = А, значит, AD ⊥ (АВЕ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

3) Так как AD ⊥ (АВЕ), то AD ⊥ АК, АК ⊂ (АВЕ) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Значит, ∠ (АК, АВ) = ∠KAD = 90°.

(Ответ: 90°.)

IV. Решение задач

Задача 1

Отрезок АВ пересекает некоторую плоскость в точке О. Прямые AD и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекает ее в точках D и С соответственно. AD = 6 см, ВС = 2 см, ОС = 1,5 см. Найдите АВ.

Дано: α; АВ - отрезок; (рис. 8).

Найти: АВ.

Решение:

1. Так как

2. Так как тo

а) AD ⊥ DC и ВС ⊥ DC (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Значит, ∠ADC = ∠BCD = 90°;

б) AD || ВС (по теореме, обратной к теореме, о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости) и существует плоскость β: AD ⊂ β и ВС ⊂ β.

3. ΔADO и ΔВСО - прямоугольные, ∠ADC = ∠BCD = 90°. ∠A = ∠B (по свойству накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми AD и ВС и секущей АВ) ⇒ ΔADO ~ ΔВСО. Тогда (по определению подобных треугольников)

4. В ΔADO, по теореме Пифагора: АО = 7,5 см. В ΔВСО, по теореме Пифагора: BO2 = ВС2 + СО2, ВO2 = 4 + 2,25. ВO = 2,5 см.

5. АВ = АО + ОВ, АВ = 7,5 + 2,5 = 10 (см). (Ответ: 10 см.)

Задачу у доски, решает один ученик. Остальные учащиеся записывают решение в тетрадь, исправляя и дополняя отвечающего (по необходимости).

Задача 2

Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают ее в точках В и D соответственно. Найдите AС, если АВ = 9, CD = 15, BD = 8.

(Следует сообщить учащимся, что в задаче возможны два варианта расположения точек А, С и плоскости.)

а) точки А и С лежат по одну сторону от плоскости (у доски работает один ученик, выполняет полное решение со всеми необходимыми обоснованиями);

б) точки А и С лежат по разные стороны от плоскости (у доски работает один ученик, самостоятельно выполняя решение. Можно составить только план решения).

а) Дано: (рис. 9).

Найти: AC.

Решение:

1.

2. Так как то АВ ⊥ BD и CD ⊥ BD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

3. Так как АВ ⊥ α и CD ⊥ α, то АВ || CD (по теореме, обратной к теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости) и существует плоскость β: АВ ⊂ β и CD ⊂ β. Тогда ABCD - трапеция, прямоугольная. Пусть АК - высота трапеции, тогда АК ⊥ KD. ABDK - прямоугольник (по признаку - углы прямые); АВ = KD = 9, BD = АК = 8 (по свойству сторон прямоугольника).

4. ΔАКС - прямоугольный: КС = CD - KD, КС = 15 - 9 = 6. По теореме Пифагора: (Ответ: 10..

б) Рис. 9 а

Решение:

1-2 аналогично случаю а.

3. Так как ВО + OD = 8, то ВО = 3, DO = 5.

(Ответ: 8√10.)

Задача № 3

Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна плоскости α. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 7 см, точки А и С лежат в плоскости α.

Дано: α; ABCD - параллелограмм; (рис. 10).

Найти: РABCD.

Решение:

1) Так как А ∈ α, С ∈ α, то (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Значит, ABCD - ромб (по признаку). Тогда АВ = ВС = CD = AD = 7 см (по определению ромба).

2) РABCD = 4 · 7 = 28 (см). (Ответ: 28 см.)

V. Подведение итогов

Домашнее задание

1) Повторить теоретический материал по изученной теме.

2) Решить задачи № 131, дополнительные задачи:

1. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если HP = 4 см, НК = 5 см, ME = 12 см.

2. Треугольник ABC правильный, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости ЛВС. Докажите, что МА = MB = МС. Найдите МА, если АВ = 6 см, МО = 2 см.

3. ABCD прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости ABC. ЕВ = 15, ЕС = 24, ED = 20. Докажите, что треугольник EDC прямоугольный, и найдите АЕ.

4. Точка А принадлежит окружности, АК - перпендикуляр к ее плоскости, АК = 1 см, АВ - диаметр, ВС — хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КСВ прямоугольный, и найдите КС.

I уровень - № 131, дополнительные задачи № 1, 2.

II уровень - № 131, дополнительные задачи № 3, 4.

Решение задач домашнего задания.

Задача № 131

Дано: ABCD - тетраэдр; М ∈ ВС: ВМ = МС; АВ = AC, DB = DC (рис. 11).

Доказать: (ADM) ⊥ DC.

Доказательство:

1. Так как АВ = АС, то ΔАВС - равнобедренный (по определению) и AM - медиана. Тогда AM - высота ΔАВС (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Значит, AM ⊥ ВС.

2. Так как DB = DC, то ΔBCD - равнобедренный и DM - медиана. Тогда DM - высота, а значит, DM ⊥ ВС.

3. или (ADM) ⊥ ВС (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Задача № 1

Дано: α, МН - отрезок, НР = 4 см, НК = 5 см, ME = 12 см (рис. 12).

Найдите: РЕ.

Решение:

1)

2) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости) и ME || ЯР (по теореме, обратной к теореме, о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости), тогда существует плоскость β: ME ⊂ β.

3) Так как ME ⊥ РЕ и HР ⊥ РЕ, то ∠МЕК = ∠HPK = 90°, а ΔМЕК и ΔНРК - прямоугольные.

4) ΔНРК; НК2 = HР2 + КР2 (по теореме Пифагора). КР2 = НК2 - HP2,

5) ∠EMK = ∠PHK (по свойству накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми ME и HР и секущей МН). Тогда ΔМЕК ~ ΔНРК и (по определению подобных треугольников);

6) РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 (см). (Ответ: 12 см..

Задача № 2

Дано: ΔАВС, АВ = ВС = АС; О - центр ΔАВС; ОМ ⊥ (ABC); АВ = 6 см, МО = 2 см (рис. 13).

Доказать: МА = MB = МС.

Найти: МА.

Решение:

1) Так как О - центр ΔАВС, то АО = ВО = СО = R.

2) Так как МО ⊥ (ABC), то МО ⊥ АО, МО ⊥ ВО, МО ⊥ СО (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Тогда ∠MOA = ∠MOB = ∠MOC = 90°, а ΔМАО, ΔМВО и ΔМСО - прямоугольные.

3) ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО (по двум катетам): МО - общий, АО = ВО = СО. Следовательно, МА = MB = МС.

4) По теореме Пифагора: (Ответ: 4 см.)

Задача № 3

Дано: ABCD - прямоугольник; АЕ ⊥ (ABC); ЕВ = 15, ЕС = 24, ED = 20 (рис. 14).

Доказать: ΔEDC - прямоугольный.

Найти: АЕ.

Решение:

1) Так как АЕ ⊥ (АВС), то AE ⊥ AD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Значит, ∠DAE = ∠CAE = ∠BAE = 90°, a ΔDAE, ΔCAE, ΔBAE - прямоугольные.

2) ΔDAC - прямоугольный, ∠D = 90°, так как ABCD - прямоугольник. По теореме Пифагора: (DC = АВ - по свойству сторон прямоугольника).

3) По теореме Пифагора в ΔDAE: в ΔСАЕ: в ΔВАЕ: подставим (1) и (3) в (2), получим.

4) Значит, ∠CDE = 90° и ΔEDC - прямоугольный.