Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Графический способ решения систем уравнений - Уравнения с двумя переменными и их системы - Уравнения и неравенства с двумя переменными

Цель: использовать графики для решения систем уравнений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение решения уравнения с двумя переменными.

2. Постройте график уравнения.

Вариант 2

1. Определение уравнения с двумя переменными.

2. Постройте график уравнения.

III. Изучение нового материала

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решением системы уравнений называют пару значений переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений означает, найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Одним из эффективных и наглядных способов решения и исследования уравнений и систем уравнений является графический способ.

Пример 1

Решим систему уравнений

Построим в одной системе координат графики первого х2 + у2 = 25 (окружность) и второго ху = 12 (гипербола) уравнений. Видно, что графики уравнений пересекаются в четырех точках A(3; 4), В(4; 3), С(-3; -4) и D(-4; 3), координаты которых являются решениями одной системы.

Так как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой. Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3).

Пример 2

При всех значениях параметра а определим число решений системы уравнении

Построим график первого уравнения х2 + у2 = 22 (окружность) и второго уравнения у = |х| + а для различных значений параметра а. Этот график пересекает ось ординат в точке у = а. Из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ найдем гипотенузу Тогда сразу получаем ответ задачи: при система не имеет решений (графики а, е), при система имеет два решения (графики б, г), при a = -2 - три решения (график в) и при a = 2 - одно решение (график д).

Пример 3

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?

Построим график первого уравнения (верхняя полуокружность, т. к. у ≥ 0). Также в этой системе координат строим график второго уравнения у = а - х для различных значений параметра а (прямая). Эта прямая пересекает оси координат в точках х = а и у = а. Очевидно, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая у = а - х находится между положениями а и b, а также в случае касания г. Для этого случая из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ найдем гипотенузу (соответственно ). Следовательно, при система уравнений имеет единственное решение.