Дробные рациональные уравнения - Уравнения с одной переменной - Уравнения и неравенства с одной переменной

Цель: решение рациональных уравнений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите уравнение.

3) При всех значениях параметра а определите число решений уравнения

Вариант 2

Решите уравнение.

3) При всех значениях параметра а определите число решений уравнения

III. Изучение нового материала

Уравнение y(x) = 0 называют дробным рациональным уравнением, если выражение у(х) является дробным (т. е. содержит деление на выражения с переменными).

Для решения рационального уравнения его необходимо преобразовать в линейное или квадратное уравнение, решить это уравнение и отбросить те корни, которые не входят в ОДЗ (область допустимых значений) исходного рационального уравнения.

Пример 1

Решить уравнение

Так как в данное уравнение входит выражение 1/(x - 1), то х - 1 ≠ 0, или х ≠ 1 (что является ОДЗ).

Уравнение принимает вид: х2 = 2 - х или х2 + х - 2 = 0, корни которого x1 = 1 и х2 = -2. Однако х, не является корнем исходного уравнения, поэтому данное уравнение имеет только один корень: х = -2.

Пример 2

Решить уравнение

ОДЗ уравнения определятся условиями: х ≠ 0 и х ≠ -а. Избавившись от знаменателей в уравнении, например за счет умножения членов уравнения на х(а + х), получим: а + х = х(а - 1). Это уравнение является линейным относительно х и имеет вид: а = х(а - 2). При а - 2 ≠ 0 (т. е. а ≠ 2) корень уравнения , при а - 2 = 0 (т. е. а = 2) уравнение имеет вид: 2 = х · 0 и корней не имеет. Однако для найденного (при а ≠ 2) корня уравнения могут существовать такие а, что х = 0 или х = -а, и тогда для таких а исходное уравнение корней иметь не будет.

Так как , то для отбора таких а решим уравнения Первое уравнение имеет корень а = 0, второе - корни а = 0 и а = 1. Итак, при а = 0 или а = 1 исходное уравнение также корней не имеет. Учитывая все вышесказанное, можно записать ответ: при ; при

При решении рациональных уравнений в основном используются те же приемы, что и при решении алгебраических уравнений, например замена неизвестной.

Пример 3

Решить уравнение

Легко проверить, что знаменатели дробей не обращаются в ноль. Так как неизвестная х входит в уравнение только в виде комбинации х2 + 2х, то введем замену неизвестной: у = х2 + 2х и получим уравнение или 5у2 + 13у = 0. Корни этого уравнения у1 = 0, у2 = -13/5. Вернувшись к старой неизвестной х, решим уравнения х2 + 2х = 0 (корни х1 = 0, х2 = -2) и х2 + 2х = -13/5 (корней не имеет).

Пример 4

Решить уравнение

В данном уравнении замена неизвестной не столь очевидна, как в предыдущем. Однако можно заметить, что повторяется комбинация х2 + 15, которую и обозначим у. Тогда получим уравнение или y2 -21ху + 98х = 0.

Заметим также, что должны быть выполнены условия: у ≠ 6х и у ≠ 8х (ОДЗ). Решим теперь уравнение у2 - 21ху + 98х2 = 0 относительно неизвестной у и получим: у = 7х и у = 14х (оба корня удовлетворяют ОДЗ). Возвращаясь к переменной х, имеем уравнения х2 + 15 = 7х (корней не имеет) и х2 + 15 = 14х (корни ).

Во многих случаях перед заменой неизвестной в уравнении его необходимо преобразовать.

Пример 5

Решить уравнение

Совершенно не очевидно, какую новую неизвестную можно ввести. Исходя из структуры уравнения, выделим в левой части полный квадрат разности. Для этого вычтем и прибавим выражение Получаем: или или Введем новую переменную и получим квадратное уравнение у2 + 10у - 11 = 0, корни которого y1 = 1 и у2 = -11. Вернемся к старой переменной. Получаем уравнения:

а) или х2 - х - 5 = 0. Корни

б) или х2 + 11х + 55 = 0. Уравнение корней не имеет.

Предварительные преобразования уравнения позволяют значительно упростить его решение.

Пример 6

Решить уравнение

Сначала в обеих частях уравнения выделим целую часть. Для этого в числителе каждой дроби выделим квадрат знаменателя и выполним почленное деление. Получаем: или или Дальнейшие преобразования состоят в получении в каждой части дроби с одинаковыми числителями. Для этого запишем уравнение в виде или Используем свойство пропорции и получим: х(х2 + 3х + 2) = х(х2 + 7х + 12) или 0 = х(4х + 10). Корни этого неполного квадратного уравнения x1 = 0 и х2 = -2,5 являются также решениями и данного уравнения.

Достаточно часто встречаются рациональные уравнения, содержащие модули.

Пример 7

Решить уравнение

Раскроем знаки модулей, рассмотрев три случая.

а) Если х ≤ 0, получаем уравнение или -х - 3 = -х + 1. Это уравнение корней не имеет.

б) Если 0 < х < 2, получаем уравнение или (при этом х ≠ 1), или х - 3 = 1 - х. Корень этого уравнения х = 2 не входит в рассматриваемый промежуток и не является решением данного уравнения.

в) Если х ≥ 2, получаем уравнение или (при этом х ≠ 3). Имеем тождество. Поэтому решением этого уравнения являются промежутки х ∈ [2; 3)U(3; +∞).

IV. Задание на уроке

№ 288 (а); 289 (б); 290; 292 (а); 293 (б); 294 (а); 295 (б); 297 (в); 298 (а); 299 (б); 300.

V. Задание а дом

№ 288 (в); 289 (а); 291 (б, в); 292 (б); 293 (а); 294 (б); 295 (а); 297 (б); 298 (б); 299 (а).

VI. Творческие задания

Решите дробно-рациональное уравнение.

Найдите все значения а, при которых уравнения имеют хотя бы один общий корень. Найдите этот корень.

Решите дробно-рациональное уравнение.

27) Найдите значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

28) При каких значениях параметров а и b равенство выполняется для всех допустимых значении х?

Ответы:

VII. Подведение итогов урока