Действия над приближенными значениями - ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ - СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цель: освоить действия над приближенными значениями и правила округления результатов вычислений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Число 23,48 записано верными цифрами. Оцените абсолютную и относительную погрешности приближенного значения этого числа.

2. Представьте дробь 7/3 в виде десятичной дроби. Округлите эту дробь до тысячных. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

Вариант 2

1. Число 35,28 записано верными цифрами. Оцените абсолютную и относительную погрешности приближенного значения этого числа.

2. Представьте дробь 11/3 в виде десятичной дроби. Округлите эту дробь до тысячных. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

В повседневной практике, технике и науке постоянно выполняют вычисления с приближенными величинами, при этом результат вычислений

обычно округляют. Рассмотрим на примерах, как производятся такие округления при сложении, вычитании, умножении и делении приближенных значений, в записи которых все цифры верные.

Пример 1

Найдем приближенное значение суммы чисел х ≈ 8,34 и у ≈ 5,6.

Сложим приближенные значения чисел х и у: х + у = 8,34 + 5,6 = 13,94. Оценим точность такого приближения: 8,34 - 0,01 ≤ х ≤ 8,34 + 0,01 и 5,6 - 0,1 ≤ у ≤ 5,6 + 0,1. Сложим эти два неравенства одного знака и получим: 13,94 - 0,11 ≤ х + у ≤ 13,94 + 0,11. Поэтому х + у ≈ 13,94 с точностью до 0,11.

Видно, что абсолютная погрешность может составлять чуть больше одной единицы разряда десятых. Поэтому цифру десятых в значении 13,94 разумно сохранить. Цифра сотых доверия не внушает, т. к. абсолютная погрешность может достигать 0,11. Следовательно, результат целесообразно округлить до десятых (что соответствует менее точной величине 5,6). Поэтому х + у ≈ 13,9.

При нахождении приближенного значения суммы чисел сложили приближенные значения, и полученный результат округлили по менее точному слагаемому (т. е. оставили в сумме столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точной величине). Таким же образом поступают во всех случаях сложения и вычитания величин.

Пример 2

Найдем приближенное значение разности чисел х ≈ 8,34 и у ≈ 5,6.

Найдем разность данных чисел х - у ≈ 8,34 - 5,6 ≈ 2,74 . Из данных чисел 8,34 и 5,6 менее точным является второе число. Поэтому округляем результат по второму числу (с точностью до десятых) и получаем х - у ≈ 2,7.

Теперь рассмотрим округление результата при умножении и делении приближенных значений. В этом случае учитывается относительная точность данных. Находят произведение или частное приближенных значений и результат округляют по менее точному числу (имеющему наименьшую относительную точность). Для этого данные числа и результат записывают в стандартном виде а · 10n. Множитель а результата округляют, оставляя в нем столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.

Пример 3

Найдем приближенное значение произведения чисел х ≈ 0,73 и у ≈ 28,6.

Перемножим данные числа ху ≈ 0,73 · 28,6 ≈ 20,878. Запишем данные числа и результат в стандартном виде: х ≈ 7,3 · 10-1, у ≈ 2,86 · 101 и xу ≈ 2,0878 · 101. Округлим произведение 2,0878 · 101 по первому (менее точному числу), т. е. до десятых. Получим ху ≈ 2,1 · 101 = 21.

Пример 4.

Найдем приближенное значение частного чисел х ≈ 378,3 и у ≈ 23,1.

Найдем частное Запишем данные числа и частное в стандартном виде: х ≈ 3,783 · 102, у ≈ 2, 31 · 101 и x/y ≈ 1,6377 · 101. Округлим результат по второму (менее точному) числу, т. е. с точностью до сотых.

Получаем: x/y ≈ 1,64 · 101 = 16,4.

Итак, при сложении, вычитании, умножении и делении приближенных значений результат округляют по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записывают в десятичных дробях, и менее точное данное определяется по абсолютной точности. При умножении и делении данные числа записывают в стандартном виде, и менее точное данное определяется по относительной точности.

Обычно приходится выполнять несколько действий над приближенными значениями чисел.

Пример 5

Найдем приближенное значение выражения (2x + 3y)z при x ≈ 4,87, у ≈ 23,1 и z ≈ 0,0034.

Выполним указанные действия: 2х + 3у ≈ 2 · 4,87 + 3 · 23,1 ≈ 9,74 + 69,3 ≈ 79,04 ≈ 79,0 (округление по менее точному числу 3у). Теперь найдем: (2x + 3y) · z ≈ 79,0 · 0,0034 ≈ 0,2686 ≈ 0,3. При округлении результата было учтено: 79,0 = 7,90 · 101 и 0,0034 = 3,4 · 10-3. Поэтому число 0,2686 было округлено до десятых.

IV. Контрольные вопросы

1. Как округляется приближенное значение суммы или разности чисел?

2. Как округляется приближенное значение произведения или частного чисел?

V. Задание на уроке

№ 988 (а); 989 (б); 990 (а); 994; 998 (б); 999 (а); 1000; 1004; 1011 (а).

VI. Задание на дом

№ 988 (в); 989 (г); 990 (б); 995; 998 (г); 999 (б); 1003; 1005; 1011 (б).

VII. Подведение итогов урока