Алгебра и начала анализа 10 класс поурочные планы по учебнику Мордковича А. Г.

Предел функции - Производная - 2-е полугодие

Цели: дать понятие предела функции; рассмотреть простейшие его свойства.

Ход уроков

I. Сообщение темы и целей уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите сумму геометрической прогрессии 9, 3, 1, 1/3, ....

2. Решите уравнение 2х + 4х2 + 8х3 +... = 3 (где |х| < 1).

3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(16).

Вариант 2

1. Найдите сумму геометрической прогрессии 8, 3, 1/2, 1/8, ....

2. Решите уравнение 3х + 6х2 + 12х3 + ...-2 (где |х| < 1).

3. Представьте в виде обыкновенной дроби 0,(24).

III. Изучение нового материала

Понятие и строгое определение предела функции достаточно сложные, и многие студенты их не воспринимают и не умеют ими пользоваться. Поэтому на этом занятии мы попытаемся дать некие представления о пределе функции и его свойствах, не вводя строгого определения предела. Все-таки при этом попытаемся связать предел функции с пределом последовательности (что обсуждалось ранее).

1. Предел функции на бесконечности

Будем рассматривать поведение функции у = f(х) при х → +∞. Пусть область определения такой функции D(f) = [а; +∞). Возьмем последовательность аргументов хn = а + n (где n ∈ N ) и соответствующую ей последовательность значений уn = f(xn) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Разумно считать, что число b является и пределом функции у = f(х) при стремлении x к плюс бесконечности. Для описания этой математической модели используют запись При этом прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х). Другими словами, при х → +∞ значения функции у = f(х) практически равны числу b.

Пример 1

Найдем предел функции

Рассмотрим последовательность аргументов хn = n (где n ∈ N).

Очевидно, что при n → ∞ аргументы хn → +∞. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид: Предел такой последовательности легко вычисляется: Тогда и предел данной функции

Аналогично можно дать определение предела функции у = f(x) при х → -∞. Пусть область определения этой функции D(f) = (-∞; а]. Рассмотрим последовательность аргументов хn = а - n (где n ∈ N), которая при n → ∞ стремится к -∞ (т. е. хn → -∞). Возьмем соответствующую ей последовательность значений уn = f(хn) функции в этих точках. Пусть предел такой последовательности Тогда будем считать, что число b является и пределом функции у = f(х) при стремлении х к минус бесконечности, т. е. При этом прямая у = b будет горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x).

Если выполнены соотношения то их объединяют одной записью или еще более короткой записью (читают: предел функции у = f(х) при стремлении х к бесконечности равен b).

Так как предел функции связан с пределом последовательности, то при вычислении подобных пределов используются аналогичные теоремы.

1) Для любого натурального показателя т справедливо соотношение

2) Если то:

а) предел суммы равен сумме пределов, т. е.

б) предел произведения равен произведению пределов, т. е.

в) предел частного равен частному пределов (при с ≠ 0), т. е.

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е.

В силу этих теорем вычисление пределов функции похоже на вычисление пределов последовательностей.

Пример 2

Найдем

Преобразуем данную функцию Для этого выражение умножим и разделим на сопряженную величину: Теперь легко вычислить предел функции: Отсюда и

2. Предел функции в точке

Такое понятие характеризует поведение функции у = f(х) в окрестности точки х = а. При этом в самой точке х = а функция может и не существовать. Попробуем сформулировать понятие предела функции у = f(x) в точке х = а. Рассмотрим последовательности аргументов которые сходятся к точке а, т. е. хn → а при n → ∞. Также рассмотрим соответствующие последовательности уn = f(хn) значений функции. Пусть Тогда разумно считать, что число b является пределом функции у = f(x) в точке х = а. При этом используют запись (читают: предел функции у = f(x) при стремлении х к а равен b).

Обсудим три часто встречающиеся ситуации (см. рисунок).

За исключением точки х = а, функции одинаковы, пределы этих функций также равны. Отличие функций состоит в следующем: в случае а функция существует во всех точках и предел функции равен ее значению в точке а (т. е. b = f(a)); в случае б функция не определена в точке а (т. е. f(a) не существует); в случае в функция определена во всех точках, но b ≠ f(a).

Таким образом, графический смысл предела заключается в следующем: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению х = а, то соответствующие значения функции все меньше и меньше будут отличаться от предела b.

Заметим, что положение еще сложнее. Обсудим функцию, график которой приведен на рисунке.

Функция у = f(x) определена во всех точках. Что касается предела функции, то ситуация усложняется. Видно, что при стремлении х к а слева (т. е. при х < a) при стремлении х к а справа (т. е. при х > a) Поэтому начинает возникать понятие одностороннего предела функции. Сейчас мы не имеем возможности углубляться в эти понятия. Однако помните, что функции и их графики могут быть очень непривычными и сложными. Чтобы их характеризовать, и приходится вводить все более и более сложные понятия.

Обсудим теперь очередное понятие - непрерывность функции y = f(x) в точке х = а. Ранее мы говорили, что функция непрерывна, если ее график представляет собой сплошную линию (без разрывов, выколотых точек и т. д.). Таковой является функция а на рис. а-в.

Определение 1. Функцию у = f(x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции при стремлении хка равен ее значению в этой точке, т. е.

Пример 3

Докажем, что функция у = х2 непрерывна в любой точке х = а.

Сначала найдем предел функции Рассмотрим последовательность (где n ∈ N), сходящуюся к а. Тогда так как и С другой стороны, f(a) = а2. Видно, что Поэтому по определению данная функция у = x2 непрерывна в любой точке х = а.

Функция у = f(x) непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

В курсе математического анализа доказано утверждение: если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).

Понятие непрерывности функции помогает вычислять пределы функции, так как

Пример 4

Найдем

Данная функция определена в точке х = 1. Поэтому

Пример 5

Вычислим

Функция определена в точке х = π/6. Получим:

Если функция у = f(х) не определена в точке х = а, то предел функции также можно вычислить.

Пример 6

Найдем

При x = 4 числитель и знаменатель функции равны нулю, а делить на нуль нельзя. Поэтому сократим дробь: Теперь вычислим предел этой функции: Заметим, что выражения совпадают при х ≠ 4. Причем для вычисления предела функции при x → 4 саму точку x = 4 исключают из рассмотрения.

Пример 7

Вычислим

1-й способ. Поступим аналогично предыдущему примеру и сократим дробь. Для этого числитель и знаменатель умножим на величину Получим:

2-й способ. Введем новую переменную Тогда при х → 3 величина и х = z2 - 1. Имеем:

При вычислении некоторых пределов полезно помнить, что (первый замечательный предел).

Пример 8

Найдем

Используем формулу понижения степени и теоремы о пределах:

Пример 9

Вычислим

Представим функцию в виде

При вычислении предела функции в точке, как и при вычислении предела последовательности и предела функции на бесконечности, используют теорему о пределах. Если то:

3. Приращение аргумента. Приращение функции

Для характеристики поведения функции у = f(x) вблизи точки х0 необходимо знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятие приращений аргумента и функции.

Определение 2. Пусть функция у = f(x) определена в точках х0 и х0 + Δх. Величину Δх называют приращением аргумента (при переходе от точки х0 к точке x0 + Δх), а разность Δf = f(х0 + Δх) - f(х0) называют приращением функции.

Обсудим геометрический смысл введенных понятий приращений аргумента и функции.

Рассмотрим график функции у = f(x) и две точки A(x0, f(x0)) и B((x0 + Δх; f(x0 + Δх)), принадлежащие графику. Проведем через эти точки секущую l. В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС = Δх и ВС = Δf Угловой коэффициент к секущей l равен tg а = Δf/Δx. (Напомним, что угловой коэффициент прямой у = kх + b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс.)

Разумеется, введенные понятия используются в физике и технике. Запишем, например, среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t0; t0 + Δt]. При движении тела по прямой средняя скорость где x(t) - координата тела.

По аналогии со средней скоростью движения тела выражение называют средней скоростью изменения функции f(x) на промежутке [х0; х0 + Δх].

Пример 10

Найдем приращения аргумента Δх и функции Δf в точке х0 = 3, если f(x) = 3х2 и:

а) х = 2,9;

б) х = 3,1.

Используя рассмотренные понятия, получим:

Пример 11

Найдем приращение Δf функции f(х) в точке х0, если приращение аргумента равно Δх и:

Используя понятие приращения функции, получим:

Пример 12

Дан квадрат со стороной а. Найдем погрешность ΔS, допущенную при вычислении площади S = а2 этого квадрата, если погрешность при измерении стороны квадрата равна Δх.

По определению приращения аргумента х = а + Δх, тогда приращение функции

В заключение еще раз обсудим непрерывность функции у = f(x) в точке х = а. Ранее данное определение значило, что функция непрерывна, если Так как х → а, то приращение аргумента Δх = х - а → 0. При этом f(х) → f(a), т. е. приращение функции Δf = f(x) - f(а) → 0 или Заметим, что из примеров 10-12 следует, что для фиксированной точки а приращение функции Δf зависит только от приращения аргумента, т. е. Δf является функцией Δх.

Определение 3. Функция у = f(x) непрерывна в точке х = а, если при Δх = х - а → 0 величина Δf = f(x) - f(a) → 0.

Пример 13

Покажем, что функция f(х) = х2 непрерывна в любой точке х - а.

Рассмотрим приращение аргумента Δх = х - а, тогда х = а + Δх. Найдем и приращение функции Очевидно, что Тогда f(х) = х2 непрерывна в любой точке х = а.