Алгебра и начала анализа 10 класс поурочные планы по учебнику Мордковича А. Г.

Решение задач повышенной сложности (факультативное занятие) - Преобразование тригонометрических выражений - 2-е полугодие

Формально изучение тригонометрии закончено. Чтобы обобщить материал глав 2-4, целесообразно рассмотреть, во-первых, решение задач повышенной сложности и, во-вторых, решение тригонометрических уравнений, систем уравнений, неравенств.

Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений

Уроки 49-50. Решение задач повышенной сложности (факультативное занятие)

Цель: рассмотреть более сложные задачи.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

Сначала еще раз приведем основные (пронумерованные) формулы (по группам).

Функции одного аргумента:

Синус и косинус суммы и разности аргументов:

Синус и косинус двойного аргумента:

Формулы понижения степени:

Преобразование сумм функций в произведения:

Преобразование произведений функций в суммы:

Теперь рассмотрим некоторые задачи.

Пример 1

Построим график функции у = |sin x|cos x + sin x|cos x|.

Раскроем знаки модулей по координатным четвертям.

I четверть

Тогда sin x ≥ 0, cos x ≥ 0 и у = sin x cos x + sin x cos x = 2 sin x cos x = sin 2x.

II четверть

Тогда sin x ≥ 0, cos x < 0 и у = sin x cos x - sin x cos x = 0.

III четверть

Тогда sinx < 0, cos x < 0 и у = -sin x cos x – sin x cos x = -2 sin cos x = - sin 2x.

IV четверть

Тогда sinx < 0, cos x ≥ 0 и y = -sin x cos x + sin x cos x = 0.

Теперь легко построить график данной функции.

Пример 2

Построим график уравнения sin|y| = sin|x|.

Запишем равенство в виде sin|y| - sin|x| = 0 и преобразуем разность в произведение: Получим совокупность уравнений (тогда ) и (тогда ). Придавая n различные значения, строим линии и

Пример 3

Упорядочим числа cos 1, cos 2, cos 3, cos 4, cos 5.

Учтем, что функция косинуса убывает на промежутке [0; π]. Числа 1, 2, 3 принадлежат этому промежутку. Так как функция косинуса четная и ее период равен 2π, то получим: и Теперь аргументы 2π - 4 и 2π - 5 также принадлежат промежутку [0; π]. Упорядочивая числа 1, 2, 3, 2π - 4 и 2π - 5, получим неравенство откуда или

Пример 4

Найдем точки минимума и максимума функции

Используя формулу для синуса двойного угла, преобразуем последнее слагаемое: Тогда функция имеет вид: y = 3 - 8 sin 8х. Так как -1 ≤ sin 8x ≤ 1, то 8 ≥ -8 sin 8x ≥ -8 и 11 ≥ 3 – 8 sin 8x ≥ -5, т. е. -5 ≤ у ≤ 11. Таким образом, ymin = -5. Минимум функции достигается при условии sin 8x = 1, откуда Максимум функции ymax = 11 и достигается при условии sin 8x = -1, откуда и