Алгебра и начала анализа 10 класс поурочные планы по учебнику Мордковича А. Г.

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение - Преобразование тригонометрических выражений - 1-е полугодие

Цель: продолжить изучение основных тригонометрических формул.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Вычислите

Ответы:

2. Вычислите sin(2 arctg 3).

Ответы:

3. Упростите выражение

Ответы:

4. Решите уравнение

Ответы:

Вариант 2

1. Вычислите

Ответы

2. Вычислите cos(2 arctg 4).

Ответы:

3. Упростите выражение

Ответы:

4. Решите уравнение

Ответы:

III. Изучение нового материала

Приведем следующую группу формул - формулы, с помощью которых можно преобразовать суммы тригонометрических формул в произведения:

Пример 1

Выведем формулу (14).

Представим углы х и у в виде воспользуемся формулами (5) и (4) и получим:

Пример 2

Преобразуем в произведение А Сгруппируем члены этого выражения и используем приведенные формулы:

Пример 3

Упростим выражение

Воспользуемся формулами (7) и (12):

Пример 4

Решим уравнение:

а) Перенесем все члены уравнения в левую часть: sin 12х - sin 2х = 0 - и преобразуем разность синусов в произведение: или Получим совокупность уравнений и

б) В отличие от предыдущей задачи в данном случае функции разноименные. Поэтому используем формулу приведения Преобразуем сумму косинусов в произведение: или Учтем четность функции косинуса: Приходим к совокупности уравнений (тогда и ) и (тогда ).

в) Сгруппируем члены уравнения Преобразуем суммы синусов в произведения: Вынесем общий множитель за скобки: Преобразуем сумму косинусов в произведение: Получим совокупность уравнений sin 3x = 0 (тогда ), cos 3x/2 = 0 (тогда и ) и cos x/2 = 0 (тогда ). Заметим, что решения можно объединить одной формулой

Пример 5

Построим график уравнения: a) sin 2y = sin 4x; б) cos у = cos х2.

Найдем более простую связь между переменными у и х. Для этого преобразуем разность тригонометрических функций в произведение,

а) Получим: sin 2y – sin 4x = 0 или 2 cos(y + 2x)sin(y - 2x) = 0. Приходим к совокупности уравнений cos(y + 2x) = 0 (тогда и ) и sin(y - 2х) = 0 (тогда у - 2х = πn и у = 2х + πn). Таким образом, придавая n различные значения, строим два семейства прямых: (параллельные прямые).

б) Получим: cos у - cos х2 = 0 или Приходим к совокупности уравнений (тогда и ) и (тогда и ). Строим эти семейства парабол.

Рассмотрим теперь метод вспомогательного угла. Он используется для преобразования выражений вида A sin x + B cos x к одной тригонометрической функции. Данное выражение (обозначим его z) умножим и разделим на число Получим: Легко проверить, что выполняется равенство Поэтому можно считать, что A/C и B/C — значения тригонометрических функции некоторого (вспомогательного) угла t: Тогда выражение z можно записать в виде При этом угол t можно найти из равенства Но так как число С записывают в виде радикала, то получают равенство tg t = B/A, из которого находят угол t = arctg B/A.

Таким образом, выражение z = A sin x + B cos x можно записать в виде z = C sin(x + t), где и t = arctg B/A.

Пример 6

Преобразуем выражение z = sin х + 2 cos х.

В данном случае коэффициенты А = 1, В = 2. Найдем число (тогда t = arctg 2). Получим: где t = arctg 2.

Заметим, что выражение z = A sin x + B cos x можно привести и к виду где Для этого обозначим и тогда

Пример 7

Преобразуем выражение z = sin s + 2 cos x.

Запишем данное выражение в виде где

Пример 8

Найдем наименьшее и наибольшее значения выражения z = 3 sin x + 4 cos x + 7.

Представим выражение в виде одного синуса. В данном случае А = 3 и В = 4. Найдем умножим и разделим выражение на число С. Получим: Обозначим (тогда ). Запишем выражение в виде Тогда выражение имеет вид: z = 5 sin(x + t) + 7. Оценим это выражение. В силу ограниченности синуса получим неравенство Умножим все части этого неравенства на положительное число 5 (при этом знаки неравенства сохраняются): Ко всем частям неравенства прибавим число 7 и получим: или Итак, имеем: zнaим = 2 и zнaиб = 12.

Пример 9

Решим уравнение

Первые два слагаемых приведем к функции косинуса. Для этого умножим и разделим их на число Получим: Обозначим отсюда Тогда уравнение имеет вид: или Преобразуем сумму функций в произведение: Приходим к совокупности уравнений: (тогда (тогда и ). .