График линейного уравнения с двумя переменными - ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ - СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: ознакомить с понятием графика линейного уравнения с двумя переменными.

Планируемые результаты: отработать навыки построения графика линейного уравнения.

Тип уроков: уроки-практикумы.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Приведите примеры.

2. Из уравнения 3х - 5у = 7 выразите каждую переменную через другую.

3. Найдите значение величины а, если уравнение ах + 3у = 11 имеет решение х = 2, у = 1.

Вариант 2

1. Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными? Приведите примеры.

2. Из уравнения 4х - 5у = 9 выразите каждую переменную через другую.

3. Найдите значение величины а, если уравнение 5х + ау = 9 имеет решение х = 3, у = 2.

III. Работа по теме уроков

Рассмотрим решения некоторого уравнения с двумя переменными. Каждое такое решение представляет собой пару чисел, которая изображается на координатной плоскости точкой (ее абсцисса равна значению х, ордината — значению у). Аналогично построим все решения данного уравнения, которые также изображаются точками. Множество таких точек образует график уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решением этого уравнения.

Пример 1

Рассмотрим уравнение 2х - Зу = 6. Выразим из него переменную у через х. Получаем -3у = 6 - 2х или .

Уравнения 2х - 3у = 6 и равносильны. Формула задает линейную функцию. Построим ее график — прямую линию. Так как уравнения 2х - 3у = 6 и равносильны, то построенная прямая будет и графиком уравнения 2х - 3у = 6.

Из рассмотренного примера видно, что графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Обсудим возможные варианты построения графика линейного уравнения ах + by= с.

а) Если коэффициент b при неизвестной у не равен нулю (т. е. b ≠ 0), то можно выразить переменную у через х. Получаем by = -ах + с или .

Формула задает линейную функцию. График этой функции — прямая, наклоненная под определенным углом к оси абсцисс (см. пример 1) при условии а ≠ 0.

б) Если коэффициенты b ≠ 0 и а = 0, тогда, подставив значение а = 0 в формулу , получим . Формула задает прямую, которая или параллельна оси абсцисс, или

совпадает с ней, так как при любых значениях х величина у постоянна.

Пример 2

Рассмотрим уравнение 0 ∙ х - 3у = 6. Найдем из этого равенства у = -6/3 = -2. Построим график функции у = -2. Видно, что при любом значении х величина у одна и та же и у = -2. Поэтому графиком является прямая, параллельная оси абсцисс.

в) Если коэффициенты а ≠ 0 и b = 0, тогда, подставив b = 0 в уравнение ах + by = с, получим ах = с, откуда х = c/a. По аналогии со случаем б формула х = c/a задает прямую, которая или параллельна оси ординат, или совпадает с ней, так как при любых значениях у величина х постоянна.

Пример 3

Рассмотрим уравнение 2х + 0 ∙ у = 6. Найдем из этого равенства х = 6/2 = 3. Решением данного уравнения будут все пары чисел (х; у), для которых х = 3, у — любое число. График уравнения состоит из точек, абсцисса которых равна 3, ордината — любому числу. Такие точки образуют прямую, проходящую через точку (3; 0) и параллельную оси у.

г) Если коэффициенты я = 0, 6 = 0 и с = 0, тогда уравнение ах + by = с имеет вид 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0. Очевидно, что любая пара чисел (х; у) удовлетворяет этому уравнению. Поэтому графиком уравнения являются все точки координатной плоскости (или вся координатная плоскость).

д) Если коэффициенты а = 0, b = 0 и с ≠ 0, тогда уравнение ах + by = с имеет вид 0 ∙ х + 0 ∙ у = с. Очевидно, что такое уравнение решений не имеет и ни одна точка координатной плоскости не принадлежит графику этого уравнения, т. е. график уравнения не существует.

Для удобства результаты проведенного анализа приведены в таблице.

Коэффициент уравнения			График
а	b	с
≠ 0	≠ 0		Прямая с наклоном к оси х
= 0	≠ 0		Прямая, параллельная оси х
≠ 0	= 0		Прямая, параллельная оси у
= 0	= 0	= 0	Координатная плоскость
= 0	= 0	≠ 0	Нет

Рассмотрим более сложные задачи.

Пример 4

При каком значении параметра а график уравнения (4а - 3) ∙ х + (3а - 6) ∙ у = 3а + 4 параллелен оси ординат? Постройте этот график.

На основании данных таблицы график этого линейного уравнения будет параллелен оси ординат, если коэффициент при неизвестном у равен нулю, т. е. 3а - 6 = 0, откуда а = 2. Подставим это значение а в данное уравнение и получим или 5х + 0 ∙ у = 10.

Из этого равенства находим х = 10/5 = 2. Построим график данного уравнения. Им является прямая, проходящая через точку (2; 0) параллельно оси ординат.

Пример 5

При всех значениях параметра а постройте график уравнения 3ах + 2ау - 3х - 2у + 6а - 6 = 0.

Преобразуем данное уравнение. Для этого сгруппируем члены, зависящие и не зависящие от параметра а. Вынесем общие множители за скобки. Получаем (3ах + 2ау + 6а) + (-3х - 2у - 6) = 0, или а(3х + 2у + 6) - (3х + 2у + 6) = 0, или (3х + 2у + 6)(а - 1) = 0.

Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим эти случаи.

а) Пусть первый множитель равен нулю, т. е. 3х + 2у + 6 = 0. Выразим из этого уравнения переменную у. Получаем 2у = -3х – 6 и

Эта формула определяет линейную функцию. Построим график. Им является наклонная прямая.

б) Пусть второй множитель равен нулю, т. е. а - 1 = 0 или а = 1. Очевидно, что при таком значении а переменные х и у могут быть любыми. Поэтому в этом случае графиком уравнения будет координатная плоскость.

Итак, при а ≠ 1 график данного уравнения представлен в пункте а, при а = 1 — в пункте б.

IV. Задания на уроках

№ 1045 (а, г), 1047, 1048 (б, г, е), 1049 (а, в), 1050 (б, г), 1051, 1053.

V. Контрольные вопросы

— Что является графиком уравнения с двумя переменными?

— Какой график может иметь линейное уравнение с двумя переменными?

— При каком условии график линейного уравнения пересекает оси координат?

— При каком условии график линейного уравнения параллелен оси: а) абсцисс; б) ординат? Приведите примеры.

— При каких условиях графиком линейного уравнения является координатная плоскость? Приведите примеры.

— При каких условиях у линейного уравнения нет графика? Приведите примеры.

VI. Творческие задания

1. При каком значении параметра а график уравнения:

а) (а - 2)х + (2а - 6)у + 8 = 0 параллелен оси х;

б) (3а - 1)х + (а - 1)у - 6 = 0 параллелен оси у;

в) (2а - 6)х + (а - 3)у - 4а + 12 = 0 является координатной плоскостью;

г) (6 - 4а)х + (2а - 3)у + 3а = 0 не существует?

Для пунктов а и б постройте график уравнения.

(Ответы: а) а = 2, прямая у = 4; б) а = 1, прямая х = 3; в) а = 3; г) а = 3/2.)

2. График данного уравнения проходит через точку А. Постройте этот график.

а) 2ах + 3у = 8, А (1; 2);

б) (а - 1)х + (а + 1)у = 2, А (1; 1);

в) (а + 2)х + (2а - 1)у = 5, А (2; 1);

г) ах + 2ау + х + 2у = 5а + 5, А (3; 1).

(Ответы: а) а = 1; б) а = 1; в) а = 1/2; г) а — любое число.)

VII. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 1045 (б, в), 1046, 1048 (а, в, д), 1049 (б, г), 1050 (а, в), 1052.