Разложение многочлена на множители способом группировки - ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ - МНОГОЧЛЕНЫ

Цель: ознакомить учащихся с еще одним способом разложения многочлена на множители.

Планируемые результаты: научиться раскладывать многочлен на множители способом группировки.

Тип уроков: урок-исследование, продуктивный урок.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Как умножить многочлен на многочлен?

2. Перемножьте многочлены:

3. Решите уравнение

4. Докажите, что если натуральные числа m и n при делении на 3 дают в остатке 2, то их произведение mn при делении на 3 дает в остатке 1.

Вариант 2

1. Какое выражение является результатом умножения многочлена на многочлен?

2. Перемножьте многочлены:

3. Решите уравнение

4. Докажите, что если натуральные числа m и n при делении на 4 дают в остатке 2, то их произведение mn при делении на 4 дает в остатке 0 (т. е. кратно 4).

III. Работа по теме уроков

В ряде случаев все члены многочлена не имеют общего множителя, однако определенные группы данных членов такой множитель имеют. Этот факт может быть использован для разложения многочлена на множители.

Пример 1

Разложим на множители многочлен

Сгруппировав члены 3ab, 3ас и b², bс, т. е. увидим, что в первой группе есть общий множитель 3а, во второй группе — общий множитель b. Вынесем эти множители за скобки и получим

Теперь видно, что есть общий множитель b + с, который также можно вынести за скобки:

Многочлен А разложен на множители — многочлены b + с и 3а + b.

Заметим, что члены многочлена А можно сгруппировать и по-другому. Например:

Разумеется, независимо от способа первоначальной группировки членов многочлена А было получено то же самое разложение на множители:

Из примера видно, что для использования такого способа разложения необходимо сгруппировать члены многочлена, имеющие общий множитель, и вынести этот множитель за скобки.

Часто при использовании такого способа разложения некоторые члены многочлена приходится записывать в виде суммы двух слагаемых.

Пример 2

Разложим на множители многочлен А = а² + 9а + 20.

Очевидно, что члены многочлена, а также различные группы членов общего множителя не имеют. Поэтому одночлен 9а представим в виде суммы двух членов, т. е. 9а = 4а + 5а. Тогда данный многочлен имеет вид А = а² + 4а + 5а + 20. Попарно сгруппируем члены, имеющие общий множитель: А = (а² + 4а) + (5а + 20).

Слагаемые в первых скобках имеют общий множитель а, во вторых скобках — общий множитель 5. Вынесем эти множители за скобки: А = а(а + 4) + 5(а + 4).

Теперь слагаемые имеют общий множитель (а + 4), который вынесем за скобки: А = (а + 4)(а + 5).

Таким образом, данный многочлен А разложен на множители — многочлены а + 4 и а + 5.

Пример 3

Разложим на множители многочлен А = а² - 5ab + 6b².

Этот пример аналогичен предыдущему. Поэтому одночлен 5ab представим в виде суммы двух членов, т. е. 5ab = 2ab + 3ab. Тогда данный многочлен имеет вид А = (а² - 2ab) + (-3ab + 6b²).

Слагаемые в первых скобках имеют общий множитель а, во вторых скобках — общий множитель -3b. Вынесем эти множители за скобки: А = а(а – 2b) – 3b(а – 2b).

Теперь слагаемые имеют общий множитель а – 2b, который вынесем за скобки: А = (а – 2b)(а – 3b).

Итак, данный многочлен А разложен на множители — многочлены а – 2b и а – 3b.

Этот прием разложения многочленов на множители также используется при решении уравнений, в задачах на делимость чисел.

Пример 4

Решим уравнение х² - х - 2 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого одночлен -х представим в виде -х = х - 2х. Тогда уравнение имеет следующий вид: x² + x - 2x - 2 = 0, или (х² + х) + (-2х -2) = 0, или x(x + 1) - 2(х + 1) = 0, или (x + 1)(x - 2) = 0.

Так как произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из этих множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения x + 1 = 0 (корень x = -1) и x - 2 = 0 (корень x = 2). Итак, данное квадратное уравнение х² - х - 2 = 0 имеет два корня х = -1 и х = 2.

Пример 5

Докажем, что при любом натуральном значении п значение выражения А = n³ + 3n² + 2n кратно 6.

Разложим многочлен А на множители. Сначала используем способ вынесения общего множителя за скобки и получаем А = n(n² + 3n + 2).

Теперь способом группировки разложим квадратный трехчлен n² + 3n + 2 на множители. Представим одночлен 3n в виде 3n = n + 2n. Тогда получаем n² + 3n + 2 = n² + n + 2n + 2 = (n² + n) + (2n + 2) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2).

Выражение А имеет вид А = n(n + 1)(n + 2). Так как n — натуральное число, то числа n, n + 1, n + 2 — три последовательных натуральных числа. Среди любых трех последовательных натуральных чисел (например, 13, 14, 15) хотя бы одно кратно 2 и хотя бы одно кратно 3. Поэтому произведение таких чисел будет кратно 2 ∙ 3 = 6. Итак, при любом натуральном значении п значение выражения А = n³ + 3n² + 2n кратно 6.

IV. Задания на уроках

№ 708 (а, б), 709 (а, в, д), 711 (д-з), 712 (а, в), 713, 716 (а, б), 717 (а), 718 (в, г).

V. Контрольные вопросы

— В каком случае используется способ группировки членов при разложении многочленов на множители?

— Как разложить многочлен на множители способом группировки? Поясните на примерах.

VI. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 708 (в, г), 709 (б, г, е), 711 (а-в), 712 (б, г), 714, 716 (в, г), 717 (б), 718 (а, б).