Зачет по теме Степень с натуральным показателем - ОДНОЧЛЕНЫ - СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цели: сравнить успеваемость учащихся при одинаковой сложности заданий; иметь возможность повысить оценки за выполненные контрольные работы.

Тип уроков: уроки контроля, оценки и коррекции знаний.

Ход уроков

I. Сообщение темы и целей уроков

II. Общая характеристика зачетной работы

Работа составлена в двух равноценных вариантах. По сравнению с контрольной работой увеличено количество заданий. Соответственно, у учащихся возрастает возможность выбора задач. Все задания разбиты на три блока А, В и С. Самые простые задачи представлены в блоке А, более сложные — в блоке В, еще сложнее — в блоке С. Каждая задача из блока А оценивается 1 баллом, из блока В — 2 баллами, из блока С — 3 баллами. Поэтому за правильное решение всех задач блока А можно получить 7 баллов, блока В — 8 баллов и блока С — 9 баллов (всего 24 балла). Оценка “3” ставится за 6 баллов, оценка “4” — за 10 баллов, оценка “5” — за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Работа рассчитана на два урока.

III. Зачетная работа

Вариант 1

А

1. Вычислите:

2. Найдите значение одночлена 7а³b²с при

3. Докажите, что число 1723²⁵⁷⁶ - 3 является составным.

4. Выполните действия:

5. График функции у = ах² проходит через точку А (3; 4). Найдите коэффициент а.

6. Составьте таблицу значений функции у = (х + 1)² в промежутке -3 ≤ х ≤ 1 с шагом 0,5 и постройте график функции.

7. Сравните числа

В

8. Определите последнюю цифру числа 327¹⁵³ + 536¹⁶⁴.

9. Сколько сомножителей (слагаемых) находится в правой части равенства:

10. График функции у = ах² + b проходит через точки А (0; 3) и В (2; -3). Найдите величины а и b.

11. Постройте график функции

С

12. Докажите, что число 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰ без остатка делится на 5.

13. Выполните действия:

14. Постройте график уравнения |у - х²| = 2х.

Вариант 2

А

1. Вычислите:

2. Найдите значение одночлена 5а²b³с при

3. Докажите, что число 1927¹⁶³⁴ - 7 является составным.

4. Выполните действия:

5. График функции у = ах² проходит через точку А (-3; 5). Найдите коэффициент а.

6. Составьте таблицу значений функции у = (х - 1)² в промежутке -1 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5 и постройте график функции.

7. Сравните числа 3⁸ ∙ 10⁷ и 9 ∙ 2⁷ ∙ 15⁷.

В

8. Определите последнюю цифру числа 523¹⁶¹ + 175²³⁴.

9. Сколько сомножителей (слагаемых) находится в правой части равенства:

10. График функции у = ах² + b проходит через точки А (0; 2) и В (2; -4). Найдите величины а и b.

11. Постройте график функции

С

12. Докажите, что число 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁶⁰ без остатка делится на 5.

13. Выполните действия:

14. Постройте график уравнения |у - х²| = -2х.

IV. Разбор задач (ответы и решения)

Вариант 1

А

1. Используя определение степени с натуральным показателем, получаем

2. Подставим данные значения величин в одночлен 7а³b²с и получим

(Ответ: )

3. Очевидно, что любое нечетное число в любой степени будет числом нечетным. Поэтому число 1723²⁵⁷⁶ нечетное. Разность двух нечетных чисел будет числом четным. Следовательно, число 1723²⁵⁷⁶ - 3 является четным и делится без остатка на 2. Так как данное число, кроме единицы и самого себя, имеет и другой делитель, то по определению оно является составным.

(Ответ: доказано.)

4. Используя свойства степеней, выполним действия:

5. Так как график функции у = ах² проходит через точку А (3; 4), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции, т. е. 4 = а ∙ 3² или 4 = а ∙ 9, откуда а = 4/9.

(Ответ: а = 4/9.)

6. Составим таблицу значений функции у = (х + 1)² в промежутке -3 ≤ х ≤ 1с шагом 0,5.

x	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1
y	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4

Отметим эти точки на координатной плоскости и построим график данной функции.

Легко догадаться, что этот график может быть получен из графика функции у = х² его сдвигом на одну единицу влево.

7. Разложим данные числа на простые множители:

Так как 5⁶ > 5⁵, то и

(Ответ: )

В

8. Сначала определим последнюю цифру числа 327¹⁵³. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 153 на 4. Он равен 1, т. е. 153 = 4 ∙ 38 + 1. Тогда 327¹⁵³ = 327^{4 ∙ 38 + 1}. Так как при возведении числа в степень его последняя цифра повторяется через каждые 4 степени, то последние цифры чисел 327¹⁵³ и 327¹ одинаковы и равны 7. Число, которое оканчивается цифрой 6, в любой степени также будет оканчиваться цифрой 6, т. е. 536¹⁶⁴ оканчивается цифрой 6. Тогда последняя цифра числа 327¹⁵³ + 536¹⁶⁴ определяется суммой последних цифр этих чисел 7 + 6 = 13 и равна 3.

(Ответ: 3.)

9. а) Пусть в правой части равенства 2³⁰⁰ = 2 ∙ 2 ∙ ... ∙ 2 находится п одинаковых множителей 2. Тогда по определению степени с натуральным показателем имеем 2³⁰⁰ = 2ⁿ. Так как равны степени с одинаковым основанием 2, то равны и показатели степеней: 300 = n. Таким образом, в правой части находится 300 сомножителей.

б) Пусть в правой части равенства 2³⁰⁰ = 2 + 2 + ... + 2 находится п одинаковых слагаемых 2. Заменим сложение умножением и получим 2³⁰⁰ = 2n, откуда n = 2³⁰⁰ : 2 = 2²⁹⁹. Таким образом, в правой части находится 2²⁹⁹ слагаемых.

(Ответы: а) 300; б) 2²⁹⁹.)

10. Так как график функции у = ах² + b проходит через точки А (0; 3) и В (2; -3), то координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции. Сначала запишем условие прохождения графика через точку А: 3 = а ∙ 0² + b, откуда b = 3. Теперь функция имеет вид у = ах² + 3. Запишем условие прохождения графика через точку В: -3 = а ∙ 2² + 3 или -6 = 4а, откуда а = -6 : 4 = -1,5.

(Ответ: а = -1,5, b = 3.)

11. При построении графика функции учтем, что х ≠ 0, и раскроем знак модуля. При х < 0 получаем |х| = -х, и функция имеет вид

В промежутке х < 0 построим график у = х² - 1 (он получается смещением графика у = x² на одну единицу вниз).

При х > 0 получаем |х| = х, и функция имеет вид В промежутке х > 0 построим график у = х² + 1 (он получается смещением графика у = х² на единицу вверх). Стрелками показано, что при х = 0 функция не определена (не имеет смысла).

C

12. Учтем, что при возведении любого числа в степень его последняя цифра повторяется при изменении показателя степени на 4. Поэтому в данной сумме последовательно сгруппируем слагаемые по четыре и получим

Разберемся со слагаемыми в первых скобках: число 3 оканчивается на 3, число 3² — на 9, число 3³ — на 7, число 3⁴ — на 1. Поэтому последняя цифра числа 3 + 3² + 3³ + 3⁴ определяется суммой последних цифр слагаемых: 3 + 9 + 7 + 1 = 20, т. е. последняя цифра этой суммы равна 0. Очевидно, что числа 3⁵, 3⁹, ..., 3¹¹⁸оканчиваются той же цифрой, что и число 3; числа 3⁶, 3¹⁰, ..., 3¹¹⁸ — той же цифрой, что и число 3², и т. д. Тогда очевидно, что суммы слагаемых, заключенных в скобки, оканчиваются одной и той же цифрой 0. Поэтому сумма всех слагаемых оканчивается цифрой 0. По признаку делимости такое число без остатка делится на 5.

(Ответ: доказано.)

13. Используя свойства степеней, выполним действия:

(Ответ: у.)

14. При построении графика зависимости |у - х²| = 2х учтем, что 2х ≥ 0, так как левая часть равенства при всех х и у неотрицательна. Тогда подмодульное выражение имеет вид у - х² = 2х или у - х² = -2х, т. е. у = х² + 2х или у = х² - 2х. Построим графики этих зависимостей (например, составив таблицы значений данных функций) в промежутке х ≥ 0.

Вариант 2

А

1. Используя определение степени с натуральным показателем, получаем

(Ответ: )

2. Подставим данные значения величин в одночлен 5а²b³с и получим

(Ответ: )

3. Очевидно, что любое нечетное число в любой степени будет числом нечетным. Поэтому число 1927¹⁶³⁴ нечетное. Разность двух нечетных чисел будет числом четным. Следовательно, число 1927¹⁶³⁴ - 7 является четным и делится без остатка на 2. Так как данное число, кроме единицы и самого себя, имеет и другой делитель, то по определению оно является составным.

(Ответ: доказано.)

4. Используя свойства степеней, выполним действия:

5. Так как график функции у = ах² проходит через точку A (-3; 5), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции, т. е. 5 = а ∙ (-3)² или 5 = а ∙ 9, откуда а = 5/9.

(Ответ: а = 5/9.)

6. Составим таблицу значений функции у = (x - 1)² в промежутке -1 ≤ х ≤ 3 с шагом 0,5.

x	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
y	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4

Отметим эти точки на координатной плоскости и построим график данной функции.

Легко догадаться, что этот график может быть получен из графика функции у = х² его сдвигом на одну единицу вправо.

7. Разложим данные числа на простые множители: и Так как 3⁸ < 3⁹, то и 3⁸ ∙ 10⁷ < 9 ∙ 2⁷ ∙ 15⁷.

(Ответ: 3⁸ ∙ 10⁷ < 9 ∙ 2⁷ ∙ 15⁷.)

В

8. Сначала определим последнюю цифру числа 523¹⁶¹. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 161 на 4. Он равен 1, т. е. 161 = 4 ∙ 40 + 1. Тогда 523¹⁶¹ = 523^{4 ∙ 40 + 1}. Так как при возведении числа в степень его последняя цифра повторяется через каждые 4 степени, то последние цифры чисел 523¹⁶¹ и 523¹ одинаковы и равны 3. Число, которое оканчивается цифрой 5, в любой степени также будет оканчиваться цифрой 5, т. е. 175²³⁴ оканчивается цифрой 5. Тогда последняя цифра числа 523¹⁶¹ + 175²³⁴ определяется суммой последних цифр этих чисел 3 + 5 = 8 и равна 8.

(Ответ: 8.)

9. а) Пусть в правой части равенства 3²⁰⁰ = 3 ∙ 3 ∙ ... ∙ 3 находится п одинаковых множителей 3. Тогда по определению степени с натуральным показателем имеем 3²⁰⁰ = 3ⁿ. Так как равны степени с одинаковым основанием 3, то равны и показатели степеней: 200 = n. Таким образом, в правой части находится 200 сомножителей.

б) Пусть в правой части равенства 3²⁰⁰ = 3 + 3 + ... + 3 находится п одинаковых слагаемых 3. Заменим сложение умножением и получим 3²⁰⁰ = 3n, откуда n = 3²⁰⁰ : 3 = 3¹⁹⁹. Таким образом, в правой части находится 3¹⁹⁹ слагаемых.

(Ответы: а) 200; б) 3¹⁹⁹.)

10. Так как график функции у = ах² + b проходит через точки А (0; 2) и В (2; -4), то координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции. Сначала запишем условие прохождения графика через точку А: 2 = а • О² + Ь, откуда b = 2. Теперь функция имеет вид у = ах² + 2. Запишем условие прохождения графика через точку В: -4 = а ∙ 2² + 2 или -6 = 4а, откуда а = -6 : 4 = -1,5.

(Ответ: а = -1,5, b = 2.)

11. При построении графика функции учтем, что х ≠ 0, и раскроем знак модуля. При х < 0 получаем |х| = -х, и функция имеет вид

В промежутке х < 0 построим график у = х² + 1 (он получается смещением графика у = х² на одну единицу вверх).

При х > 0 получаем |х| = х, и функция имеет вид В промежутке х > 0 построим график у = х² – 1 (он получается смещением графика у = х² на единицу вниз). Стрелками показано, что при х = 0 функция не определена (не имеет смысла).

C

12. Учтем, что при возведении любого числа в степень его последняя цифра повторяется при изменении показателя степени на 4. Поэтому в данной сумме последовательно сгруппируем слагаемые по четыре и получим Разберемся со слагаемыми в первых скобках: число 2 оканчивается на 2, число 2² - на 4, число 2³ - на 8, число 2⁴ - на 6. Поэтому последняя цифра числа 2 + 2² + 2³ + 2⁴ определяется суммой последних цифр слагаемых: 2 + 4 + 8 + 6 = 20, т. е. последняя цифра этой суммы равна 0. Очевидно, что числа 2⁵, 2⁹, ..., 2¹⁵⁷ оканчиваются той же цифрой, что и число 2; числа 2⁶, 2¹⁰, ..., 2¹⁵⁸ — той же цифрой, что и число 2², и т. д. Тогда очевидно, что суммы слагаемых, заключенных в скобки, оканчиваются одной и той же цифрой 0. Поэтому сумма всех слагаемых оканчивается цифрой 0. По признаку делимости такое число без остатка делится на 5.

(Ответ: доказано.)

13. Используя свойства степеней, выполним действия:

(Ответ: у.)

14. При построении графика зависимости |у - х²| = -2х учтем, что -2х ≥ 0 или х ≤ 0, так как левая часть равенства при всех x и у неотрицательна. Тогда подмодульное выражение имеет вид у - х² = -2х или у - х² = -(-2х), т. е. у = х² - 2х или у = х² + 2х. Построим графики этих зависимостей (например, составив таблицы значений данных функций) в промежутке x ≤ 0.

V. Подведение итогов уроков