Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Взаимное расположение графиков линейных функций - ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ - ФУНКЦИИ

Цель: рассмотреть расположение графиков двух линейных функций.

Планируемые результаты: знать условия пересечения, параллельности, совпадения графиков линейных функций.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Из зависимости у = -3х + 4 выразите переменную х через у.

2. Постройте график функции у = -3х + 4 двумя способами (выбирая две произвольные точки и точки пересечения с осями координат).

3. График функции у = kх + b проходит через точки А (0; -4) и В (3; 5). Найдите величины k и b.

Вариант 2

1. Из зависимости у = -4х + 3 выразите переменную л: через у.

2. Постройте график функции у = -4х + 3 двумя способами (выбирая две произвольные точки и точки пересечения с осями координат).

3. График функции у = kх + b проходит через точки А (0; -2) и В (2; 6). Найдите величины k и b.

III. Работа по теме урока

Представим себе две прямые, построенные на координатной плоскости. Очевидно, возможны только три случая их взаимного расположения: или прямые пересекаются, или прямые параллельны, или прямые совпадают. Другой возможности представить себе нельзя. Рассмотрим эти три случая на примерах.

Пример 1

Построим графики линейных функций у = х - 3 и у = 2х - 4.

Видно, что построенные прямые пересекаются в точке А. Найдем координаты этой точки. Так как A — точка пересечения прямых, то ее координаты (х₀; у₀) удовлетворяют уравнению каждой прямой, т. е. выполняются (при подстановке в уравнения прямых) равенства у₀ = x₀ - 3 и у₀ = 2 ∙ х₀ - 4. Поскольку в этих равенствах левые части одинаковы, можно приравнять и правые: х₀ - 3 = 2 ∙ х₀ - 4. Из этого линейного уравнения находим абсциссу точки пересечения А - х₀ = 1. Тогда из любого равенства можно найти и ординату точки пересечения, например: у₀ = х₀ - 3 = 1 - 3 = -2. Итак, координаты точки пересечения А (1; -2).

Таким образом, если угловые коэффициенты к прямых у = kх + b различны, то эти прямые пересекаются.

Пример 2

Построим графики линейных функций у = х – 3 и у = х + 1.

На рисунке видно, что прямые, заданные этими функциями, параллельны.

Таким образом, если угловые коэффициенты к прямых у = kх + b одинаковы, а значения Ь различны, то эти прямые параллельны.

Пример 3

Построим графики функции у = х - 3 и функции, заданной уравнением 2у + х = 2х + у - 3. Прежде всего из уравнения 2у + х = 2x + у - 3 найдем зависимость у(х). Для этого в левую часть равенства перенесем члены, зависящие от у, а в правую часть — все остальные члены уравнения. Получаем 2у - у = 2х - 3 - х или у = х - 3.

Теперь видно, что графики двух данных функций совпадают.

Таким образом, если угловые коэффициенты k и величины b прямых у = kх + b одинаковы, то эти прямые совпадают.

Обоснуем выводы, сделанные на основании рассмотренных примеров. Пусть даны две линейные функции у = k₁ ∙ х + b₁ и у = k₂ ∙ х + b₂. Предположим, что они пересекаются в точке С с координатами (х₀; у₀). Тогда эта точка лежит на каждой прямой и ее координаты удовлетворяют уравнению каждой прямой. Поэтому при подстановке значений х₀ и у₀ в уравнения прямых выполняются равенства y₀ = k₁ ∙ х₀ + b₁ и у₀ = k₂ ∙ х₀ + b₂.

Так как в этих равенствах левые части одинаковы, то можно приравнять и правые: k₁ ∙ х₀ + b₁ = k₂ ∙ х₀ + b₂. Получили линейное уравнение для нахождения абсциссы х₀ точки пересечения. Запишем его в следующем виде: k₁ ∙ х₀ - k₂ ∙ x₀ = b₂ – b₁ или (k₁ - k₂) ∙ x₀ = b₂ – b₁. При решении этого уравнения возможны три случая:

1. Если k₁ - k₂ ≠ 0 (т. е. k₁ ≠ k₂), то уравнение имеет единственное решение. Это означает, что прямые пересекаются (разумеется, в одной точке).

2. Если k₁ - k₂ - 0 (т. е. k₁ = k₂) и b₂ – b₁ ≠ 0 (т. е. b₁ ≠ b₂), то уравнение решений не имеет. Это означает, что прямые не пересекаются, т. е. параллельны.

3. Если k₁ - k₂ = 0 (т. е. k₁ = k₂) и b₂ – b₁ = 0 (т. е. b₁ = b₂), то уравнение имеет бесконечно много решений. Это означает, что прямые имеют бесконечно много общих точек, т. е. совпадают.

IV. Задания на уроке

№ 327 (а, б), 328, 330, 331, 335.

V. Контрольные вопросы

— Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?

— При каком условии графики двух линейных функций пересекаются?

— При каком условии графики линейных функций параллельны?

— При каком условии графики линейных функций совпадают?

VI. Творческие задания

1. При каких значениях параметров графики данных функций пересекаются?