Среднее арифметическое, размах и мода - СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ - ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цель: ознакомить с простейшими статистическими характеристиками.

Планируемые результаты: иметь представление о среднем арифметическом, размахе и моде ряда чисел.

Тип уроков: урок-лекция, урок общеметодологической направленности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Работа по теме уроков

План уроков

1. Наука статистика.

2. Среднее арифметическое ряда чисел.

3. Размах ряда чисел.

4. Мода ряда чисел.

1. Наука статистика

Наш XXI в. характеризуют различным образом: век новых технологий (в частности, нанотехнологий, генной инженерии), век биофизики, век биохимии, век астрофизики (проверка основополагающих космогонических теорий, разработка теории физики элементарных частиц, строительство большого адронного коллайдера) и т. д. При этом самые интересные результаты получали и получают на стыке самых различных наук. Теория новых наблюдаемых явлений только разрабатывается, и в ряде случаев приходится иметь дело с огромным количеством измеряемых величин.

Если вдуматься, все новейшие направления науки и техники объединяет, прежде всего, получение принципиально новой информации. Поэтому правильнее назвать наш век веком информации. Буквально за несколько последних лет появились сверхмощные компьютеры, уникальное программное обеспечение, Интернет, различные поисковые системы, разрабатываются и совершенствуются методы обработки информации и т. п.

Многие из нас участвуют в переписи населения, выборах, опросах, тестировании и т. д. А это означает наличие определенной информации, которая нуждается в обработке. Данной цели служит наука статистика. Задача статистики — получение информации, ее отражение, обработка и интерпретация результатов обработки. В широком смысле статистика — одна из наук, связанных с информацией. Поэтому, прежде всего, необходимо познакомиться с простейшими понятиями статистики.

2. Среднее арифметическое ряда чисел

Для начала рассмотрим следующий пример.

Пример 1

На математической олимпиаде члены команды, состоящей из 10 семиклассников, получили такие баллы: 23, 27, 25, 30, 38, 25, 42, 40, 25, 35.

Как в среднем выступила команда, т. е. сколько баллов набрал некоторый “усредненный” член команды? Для ответа на этот вопрос разделим количество баллов, которое набрала команда (т. е. сумму баллов всех членов), на число участников и получим

Число 31, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Итак, среднее арифметическое ряда чисел — одна из статистических характеристик, но, разумеется, не единственная.

3. Размах рада чисел

Из примера 1 видно, что команда семиклассников выступила неплохо. Но давайте сравним ее успехи с успехами команды восьмиклассников из следующего примера.

Пример 2

У команды восьмиклассников (также состоящей из 10 человек) на той же олимпиаде были следующие баллы: 29, 30, 32, 33, 29, 31, 32, 29, 32, 33.

Легко проверить, что среднее арифметическое этого ряда чисел такое же, как и в примере 1. Поэтому в среднем успехи и семиклассников, и восьмиклассников одинаковы. Вместе с тем имеются и существенные различия. Если сравнить примеры 1 и 2, то видно, что баллы восьмиклассников почти одинаковы (и близки к среднему арифметическому), а баллы семиклассников значительно отличаются (и у некоторых семиклассников далеки от среднего арифметического).

Поэтому введем еще одну статистическую характеристику — размах ряда чисел.

Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

В примере 1 размах ряда составляет 42 - 23 = 19, в примере 2 размах ряда равен: 33 - 29 = 4.

Очевидно, что семиклассники более разнородны, чем восьмиклассники (так как имеются ребята и со слабой, и с сильной подготовкой).

Разумеется, для получения более полной информации необходимо вводить и другие характеристики.

4. Мода рада чисел

Также интересно знать, какое количество баллов наиболее типично, т. е. какое количество баллов наиболее часто встречается. Так, в примере 1 это число 25 (встречается три раза), его называют модой рассматриваемого ряда чисел.

Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь и более одной моды. Так, в примере 2 имеются две моды — числа 29 и 32, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа — не более двух раз.

Ряд чисел может и не иметь моды совсем.

Пример 3

Рассмотрим ряд чисел: 27, 23, 25, 31, 30, 28, 32, 29, 33, 42, который не имеет моды, так как каждое число встречается только один раз.

Заметим, что обычно статистической обработке подвергаются ряды, состоящие из огромного количества чисел (например, средний возраст населения страны, мода роста призывников в военкомате и т. д.). При небольшом количестве чисел в ряду статистика нецелесообразна: легко обозреть эти числа и сделать соответствующие выводы (примеры 1—3 приведены только для того, чтобы ввести основные статистические характеристики).

При обработке большого ряда чисел его удобно сначала упорядочить.

Упорядоченным рядом чисел называют ряд, в котором последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.

Пример 4

Рассмотрим ряд из 20 чисел: 24, 23, 31, 27, 24, 25, 28, 26, 32, 24, 31, 26, 28, 30, 29, 26, 24, 28, 24, 26.

Упорядочим этот ряд (например, в порядке возрастания чисел): 23, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 28, 28, 28, 29, 30, 31, 31, 32.

Учитывая повторяемость чисел в этом ряду, его удобно записать в виде

Теперь легко определить статистические характеристики данного ряда чисел. Среднее арифметическое равно:

Размах ряда равен: 32 - 23 = 9, мода ряда составляет 24 (так как это число встречается чаще всего).

В заключение отметим особенности статистических характеристик:

1. Среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из чисел ряда.

2. Мода ряда чисел (если она существует) обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.

3. Размах ряда чисел показывает, насколько они близки друг к другу (и к их среднему арифметическому).

4. Чем больше статистических характеристик используется, тем полнее информация об этом ряде чисел.

III. Задания на уроках

№ 168 (а, б), 170 (б, в), 171, 174, 176, 181.

IV. Контрольные вопросы

— Назовите основные задачи статистики.

— Что такое среднее арифметическое ряда чисел?

— Дайте определение размаха ряда чисел.

— Дайте определение моды ряда чисел.

— Дайте определение упорядоченного ряда чисел.

V. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 168 (в, г), 170 (а), 172, 173, 179.